『ゼロ』（2000年）は、古代ギリシャ人に禁止され、古代インド人に崇拝された数字の魅力的な物語である。ゼロは、その双子である無限とともに、何世紀にもわたって数学と哲学の中心にあり続けてきた数字である。
本書の見どころ：異端の数字の歴史を紐解く
ゼロは不思議な数字だ。4や32、83とはあまり似ていない。ゼロを他の数字に足しても何も起こらない。他の数字にゼロを掛けても、必ずゼロに戻る。
そしてゼロで割ると、大混乱が起きる。実際あまりに奇妙な数字であるため、古代世界では多くの偉大な数学者がその存在を完全に否定した。近代になってからも、哲学者ルネ・デカルトはそれが実在しないと主張したほどだ。しかし、最終的に受け入れられて以降、ゼロは数学や物理学におけるほぼすべての画期的発見の中心にあることがわかってきた。
数学の黎明期にゼロは存在しなかった。ゼロが初めて登場したのは古代バビロニアである。
どういうことか？これから明らかになる。本要約では、次のことを学ぶ。
- なぜバビロニア人がゼロを発明したのか
- なぜアリストテレスがゼロを禁止したのか
- なぜ無限はゼロの双子なのか
数字がゼロの世界を想像できるだろうか？
石器時代に遡ると、まさにそんな世界だった。進取の気性に富む洞窟人が狼の骨に刻み目を彫り始めるまでは。彼らは何を数えていたのか？それはわかっていない。しかし、動物や槍の穂先のような実用的なものだったに違いない。先史時代の数学はあくまで実用的なものだったため、ゼロという概念を必要としなかった。「ゼロ頭の鹿」という特別な言葉は必要なかった。ただ、鹿が…
…いなかっただけだ。しかし、時とともに数学は進歩し、人々は複雑な計数システムを開発した。そして古代バビロニア人は、何かが——いや、むしろ何もないこと——が欠けていることに気づいた。ここでの重要なポイント：数学の黎明期にゼロは存在しなかった。ゼロが初めて登場したのは古代バビロニアである。
ゼロがなぜ登場したのかを理解するには、古代バビロニアの計数システムがどう機能していたかを知る必要がある。では、簡単に説明しよう。現代の計数システムが十進法、つまり10を基数としていることはご存知だろう。1、10、100という単位で物事をグループ化する。しかし古代バビロニアでは、六十進法で、基数は60だった。さらに驚くことに、使われていた記号はたったの2つだけだった。その2つの記号が表していたのは「1」と「10」だった。
バビロニア人は必要な回数だけその記号を繰り返した。これは、後によく知られるローマ数字のシステムとよく似ている。たとえば50は「10」の記号を5回繰り返す。51はそれに「1」の記号を加える。そして60に達するまで同様に続ける。ここが混乱するところだ。60になると「1」の記号を使ってまた最初から始めるのだ。60と1は同じ記号で表された。そして60×60、つまり3,600も同様だった。それは曖昧だと思うかもしれないが、その通りである。
しかし、61や3,601のような数字になると、特に曖昧だった。それらはどちらも、2つの「1」の記号を並べただけで表された。では、どうやってその違いを見分けたらよいのか。最終的に、バビロニア人は解決策を見つけた。ゼロである。3,601を書くために、2つの「1」の記号の間にまったく新しい記号を書いたのだ。これによって、最初の数字が60ではなく、さらに上の位であることが明確になった。これがゼロの誕生だった。
しかし、これはまだ現代のゼロとはまったく同じではなかった。実際には、欠落を示す単なるプレースホルダーだった。ゼロの奇妙で神秘的な性質が完全に明らかになるのはずっと後のことであり、古代ギリシャ人を驚嘆させ、恐怖させることになる。
哲学志向の古代ギリシャ人は、ゼロの有用性にもかかわらずそれを拒絶した。
多くの古代文明にとって、数字は数えたり土地を分けたりするための単なる道具だった。しかし古代ギリシャ人にとって、数字は哲学そのものだった。ピタゴラスのような数学者兼哲学者は、あらゆる形の中に数字の調和を見出していた。しかし古代ギリシャ人はゼロを認めなかった。まったく認めなかったのだ。
実際、アリストテレスはゼロは存在しないと宣言した。それは人間の想像力の産物にすぎないと。そしてこの主題に関する彼の見解は、他の多くの主題と同様に、何世紀にもわたって影響を及ぼし続けた。西洋世界の数学にとって不利益となる形で。ここでの重要なポイント：哲学志向の古代ギリシャ人は、ゼロの有用性にもかかわらずそれを拒絶した。古代ギリシャの常識では、ゼロは存在しないとされていた。しかし、ゼノンという哲学者は、この一般的な信念に疑問を投げかけるパラドックスを考案した。偉大な競技者アキレスが亀と競争しているところを想像してほしい。
亀は1フィートの先行からスタートする。アキレスは亀を追い抜いて勝てるだろうか？さて、アキレスは亀の1フィートのリードを、たとえば1秒で追いつく。しかしその間に、亀はわずかに先へ進んでいる。では、アキレスは亀の新しい位置に1秒の何分の一かで到達する。しかし亀はもちろん、また少し先へ進んでいる。そして、これが無限に繰り返される。
アキレスが亀のいた場所に追いつくたびに、亀はすでに先へ進んでいる。両者の差はどんどん小さくなる…しかし、アキレスは決して追いつけない。そうだろうか？
現実には、アキレスは亀を追い抜くことを我々は皆知っている。それは、アキレスと亀の差には極限があるからだ。つまりゼロである。確かに、差を埋めるには無限に小さくなる段階を無限に繰り返す必要があるが、最終的には実現する。しかしギリシャの数学システムはゼノンのパラドックスを説明できなかった。ゼロを追放していたからだ。アリストテレスによれば、ゼロと無限は存在せず、すべては有限だった。宇宙には外側の球があり、そこで突然終わっていた。
時間も有限だった。遠い過去のある時点で、時間は始まったばかりだった。それは彼らの信念体系の根幹だった。しかし、時間が始まる前、何が起こったのか？答えは、まったく何もなかった——つまりゼロ——か、あるいは出発点がなかった——つまり無限——のどちらかである。
ゼロと無限の存在を否定するのは理にかなっていない。しかし、それが古代ギリシャで、そして西洋では中世を通じて起こった。アリストテレスの絶大な影響力のせいである。しかし、さらに東の地域では、アリストテレスの影響力はそれほど大きくなかった。
古代インドとアラブの数学者はゼロを受け入れ、数学を大きく前進させた。
古代インドでは、無限やゼロについて恐れるものは何もなかった。アリストテレスはこれらの概念を完全に拒絶したが、それらはインドの信仰体系の重要な一部だった。古代インド人は、宇宙は虚無から創造され、それは無限であると信じていた。しかし、世界は無から生まれたがゆえに、いつかは無に帰るとも信じていた。古代インドの数学者は、ゼロが数字の中で正当な地位を占めるべきだと気づいた。
そしてその気づきが、あらゆる可能性への扉を開いた。ここでの重要なポイント：古代インドとアラブの数学者はゼロを受け入れ、数学を大きく前進させた。古代ギリシャとインドのもう一つの重要な違いは幾何学に関するものだった。ギリシャ人にとって、幾何学は数学の中核だった。数字は本質的に比率と形を表していた。しかしインドでは、数学者は数字を抽象的なものとして考えていた。その違いがもたらす結果の一例を挙げよう。
2引く3は何か？古代ギリシャの人にとって、その問いは意味をなさない。2エーカーの畑があったとして、そこから3エーカーを引くことはできない。しかし、数字が特定のものを表していないなら、方程式を解くだけでよい。そしてもちろん、答えは-1である。負の数とともに、古代インド人はゼロを数の体系に喜んで取り入れた。ゼロは正の数と負の数の間にきちんと収まった。
しかし、それでもゼロはどこか奇妙だと思われていた。何にゼロを掛けても、ゼロになる。割り算に至っては、まったくの混沌である。1の中にゼロはいくつあるか？12世紀のインドの数学者バースカラは、その答えが無限であることに気づいた。ちなみに、無限にも奇妙な性質があった。どんな数字を足しても引いても、まったく同じままなのだ。
これらの数学的進歩がイスラム教、ユダヤ教、キリスト教の思想家たちに到達したとき、それは大きな出来事だった。ゼロと無限の奇妙な性質ゆえだけではない。これら3つの宗教はアリストテレスの影響を強く受けていたため、これらの新しい概念は彼らの世界観に対する挑戦だった。しかし最終的には、3つの宗教すべてがそれらを採用した。キリスト教徒がゼロを受け入れたのは最後だった。そして結局、それを受け入れさせたのは商業的な圧力だった。イタリアの商人たちは、アラビア式システムとして知られる10桁の現代的な計数システムが、教会がまだ要求していたローマ式システムよりもはるかに使いやすいことに気づいた。しかしその時までに、アラビア式システムにはゼロを表す数字が含まれていた。
こうして中世に、ゼロは西洋の数の体系に忍び込んだ。しかし、それは依然として疑いの目で見られていた。最も偉大な数学的頭脳の何人かにとってさえも。ルネ・デカルトは1596年に生まれた。
西洋でゼロを受け入れることは神学的に難しかったが、数学的革命をもたらした。微積分法である。
ピタゴラスをはじめとする多くの偉大な思想家と同様に、彼も数学者であり哲学者でもあった。しかし彼でさえ、ゼロを完全には受け入れなかった。デカルトの名は、高校で学ぶx軸とy軸からなるデカルト座標系に残されている。その2つの軸は必然的に、左下隅にゼロを持つ。
1から始めたら、すぐに誤差が生じてしまう。この強力な新しい座標系は、数学の進歩におけるまったく新しい宇宙を切り開いた。それでもデカルトは、ゼロ自体は実際には存在しないと常に主張した。アリストテレスの教えで育った彼にとって、ゼロは一線を越えたものだったのだ。しかし後の数学者たちは、それほど神経質ではなかった。そして、その結果は壮大なものとなった。ここでの重要なポイント：西洋でゼロを受け入れることは神学的に難しかったが、数学的革命をもたらした。微積分法である。
学校で微積分を少し覚えているかもしれないが、それがゼロと無限にどれほど密接に結びついているかは、あまり意識していないかもしれない。では、基本をいくつか確認しよう。デカルト座標に曲線を描いたとしよう。その下の面積をどう計算するか？まず、曲線の下に長方形を描いてみる。できるだけ多くの面積をカバーするものを。それは良い出発点だが、あまり正確ではない。
より近づけるには、代わりに2つの小さな長方形を描く。そうすれば、より多くの面積をカバーできる。3つの長方形ならさらに近づける。そうやって続けていくのだ。しかし、曲線の下の実際の面積を得るには、無限の数の長方形が必要で、それぞれの面積は無限に小さい。つまり、ゼロの面積である。それは非合理的に聞こえるかもしれないが、奇妙なことに、うまくいくのだ。数学者アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツはほぼ同時にこのことに気づき、微積分のシステムを開発した。これによって、ゼロと無限をめぐる奇妙な数学を含むにもかかわらず、数学的に面積を計算できるようになった。
人々はこれを理論的に厄介だと感じた。アイルランドの司教ジョージ・バークリーは、完全に証明されていた数学の他の分野とは異なり、微積分は信仰に基づくものだと指摘した。誰も、あのたくさんのゼロで何が起こっているのかを本当には理解していなかった。この問題を解決した数学者が、ジャン・ル・ロン・ダランベールだった。ゼノンのパラドックスと同じように、ダランベールは極限を使って答えを説明した。数列は無限に向かって伸びていくかもしれないが、それでも有限の極限に近づくことができるのだ。
数学者たちはすぐに、ゼロとその反対である無限が、複雑だが魅惑的な関係を持つことを発見した。
二次方程式は高校数学の定番である。しかし、それが簡単だというわけではない。まったく逆だ。たとえば、一見シンプルなこれを考えてみよう：x² + 1 = 0。
xは何か？覚えているかもしれないが、二次方程式には通常2つの解がある。1つは正、もう1つは負だ。そしてその方程式の2つの答えは少し奇妙に聞こえる。-1の平方根と、-1の負の平方根である。これらの数字は存在しないので、数学者はそれらを虚数と呼ぶ。そのため、それらをiと-iと呼ぶ。これがゼロと何の関係があるのか？
何の関係もない。そして、すべての関係がある。ここでの重要なポイント：数学者たちはすぐに、ゼロとその反対である無限が、複雑だが魅惑的な関係を持つことを発見した。虚数の存在を認めると、それらを組み合わせて、i + 2や2i – 4のような数を作ることができる。そのような数を複素数と呼ぶが、それを視覚化するには、デカルト座標にマッピングするのが役立つ。x軸を数の実部（たとえば-4）、y軸を虚部（たとえば2i）とする。しかし、その座標は通常の座標とは少し異なる働きをする。点iをy軸の1マス上、x軸はゼロの位置にプロットしたとしよう。
その数を二乗すると何が起こるか？i²は定義により、-1である。つまり実際には、その点は90度左に回転する。これはどんな複素数にも当てはまる。それ自身を掛けることで、座標上を回転するのだ。二次元の座標に留まっていると、この時点でかなり複雑になってくる。そこで数学者ベルンハルト・リーマンは、球面上で視覚化する方が理にかなっていることに気づいた。球面にiが1点にあり、その真向かいに-iがあるところを想像してみよう。
その2点に対して直角に交わる位置にあるのが、1と-1である。そして球の上端と下端に来るのは何か？ゼロと無限である。複素数を含む数学の奇妙な論理は、ゼロと無限が1と-1のように、等しく反対の極であることを明らかにする。リーマン球面は、これまで問題のあったいくつかの方程式を理解しやすくする。たとえば、y = 1/xを考えてみよう。
二次元では、それは乱雑に見える。xがゼロに近づくにつれて、曲線は画面の外へ無限に向かって飛び出していく。しかし球面上では、完全に理にかなっている。曲線は単に最上部の点に到達するだけだ。これはすべて少し理論的に聞こえるかもしれない。しかし、これが現実世界とどう関係するのか疑問に思っているなら、ぜひ読み進めてほしい。ゼロと無限は数学だけでなく、物理学の柱でもあるのだ！
ゼロと無限は単なる数学的概念ではない。物理学にも溢れている。
ここまで虚数について話してきたが、ゼロと無限はとてもリアルで、現実世界においてあらゆる重要な形でその存在を感じさせている。実際、それらは過去100年ほどの物理学の進歩の多くを支えている。一例はさらにそれ以前に遡る。1850年代に、物理学者ケルビン卿は物体を約-273℃以下に冷やすことが文字通り不可能であることを発見した。
つまり、彼は絶対零度を発見したのだ。ここでの重要なポイント：ゼロと無限は単なる数学的概念ではない。物理学にも溢れている。実際には、絶対零度の温度に到達することは不可能である。絶対零度は気体が完全にゼロのエネルギーを持つ状態だからだ。これは到達不可能だ。常に周囲に粒子があり、エネルギーを放出して物を再び温めている。しかし、絶対零度は自然界において極限として確かに存在している。
物理学におけるもう一つのゼロは、アルバート・アインシュタインの研究によって明らかになった。ブラックホールである。アインシュタインの理論は、深宇宙で起こる奇妙で懸念すべき現象の説明に貢献した。大質量星が死ぬとき、その重力があまりに強いため、自ら崩壊し、どんどん小さくなっていき、最終的にはゼロの空間を占めるようになる。しかし、ゼロの空間を占めているにもかかわらず、質量は持っている。その不釣り合いな組み合わせが時空そのものに歪みを生み出し、近づくものすべてを吸い込んでしまう。物理学における他の進歩は、ゼロとはまったく異なる関係を持っている。
たとえばひも理論は、ゼロを多かれ少なかれ禁止するという奇妙な一歩を踏み出している。しかし、何千年も前のアリストテレスとはまったく同じやり方ではない。ひも理論によれば、宇宙は10次元、あるいは11次元で存在しており、私たちにはゼロに見えるものが、他のすべての次元を考慮に入れると実際にはゼロではないかもしれない。この理論は宇宙の謎めいた特徴のいくつかを説明するのに役立つ。しかし、実験によって証明できないため、これは真の科学というより哲学だと主張する人もいる。とはいえ、ゼロと哲学は常に密接な関係にあった。
時間の始まりから——もちろんビッグバン自体もまたゼロである——宇宙の最終的な終わりに至るまで、ゼロは常に神秘的で空虚な力を及ぼしてきた。無からは何も生まれないと、詩人であり哲学者でもあるルクレティウスはかつて言った。しかし、その無には奇妙で神秘的な性質がある。そして我々は今もそれを解明し続けている。
まとめ
本要約の重要なポイント：数学の黎明期にゼロは存在しなかった。そして、ゼロが最初に発明されたバビロニアでは、それは単なるプレースホルダーだった。古代ギリシャ人の数学の腕前にもかかわらず、ゼロはアリストテレスによって禁止された。
つまり、ゼロは何世紀にもわたって西洋世界で十分に評価されなかった。しかしインドのような場所では、ゼロは受け入れられ、数学は大きく進歩した。ゼロはその後、双子である無限とともに、数の体系の中で正当な地位を獲得した。そして、微積分から相対性理論に至るまで、数学や物理学におけるあらゆる新しい概念の、不可欠でありながら神秘的な構成要素であることが証明された。
