カオス（1987年）は、物理学における最新の理論革命であるカオス理論を深く掘り下げます。1970年代、科学者たちは、世界が古典物理学が示唆するほど整然とは振る舞わないことに気づき始めました。天候から動物の個体数、心臓の鼓動に至るまで、不規則性、無秩序、混沌が宇宙に満ちています。しかし、生命の混沌には奇妙な秩序が存在するように思われます。カオスはこの新しい科学の歴史を探り、驚くべき発見を明らかにし、その意味を考察します。
この要約で得られるもの： 混沌の底に潜む秩序を見出す
物理学者たちが思い描く世界は、時計仕掛けのように規則正しく、予測どおりに動く――もしそれが実現するなら、ほんのわずかな単純なルールで動いているはずだ。長らく科学者たちは、実際にそのように世界を研究してきた。データに現れるランダムさや無秩序の兆しは、すべて「偶然の誤差」として無視されてきたのだ。しかし1970年代、一握りの科学者たちが、その「まぐれ」を真剣に受け止め始めた。
新しいコンピュータ技術を駆使した彼らは、天候パターンや蛇口の不規則な滴り、心臓のリズムなど、あらゆる場所にカオス的な振る舞いを見出した。そして、彼らは興奮する発見をする――混沌の背後には、奇妙な秩序が隠されていたのだ。ここでは、カオス理論という新しい分野が、いかに科学に革命をもたらしたか、その物語をお伝えする。そして、混沌こそが生命を支配する原理なのかもしれない理由を探っていく。この要約で学べること：
- 北京の蝶がニューヨークの嵐を引き起こすとされる理由
- イギリスの海岸線が無限に長いわけ
- 蚊に時差ぼけを与える方法
気象学者エドワード・ローレンツは、天気の予測不可能性を発見し、カオス理論の生みの親となった。
あなたは天気予報をどれほど信じているだろうか？ 1950年代、科学者たちは天気を予測し、さらには操作する可能性に大きな期待を寄せていた。その希望の背景には、新しいコンピュータ技術があった。もちろん、天気のように複雑なものを完璧に計測するのは難しいと彼らも認識していた。
しかし、十分に精度の高いデータと、莫大な計算能力があれば、数か月先の天気を少なくとも大まかに計算できる、と考えられていたのだ。彼らは、地球の気象のような物理システムが、いかに壊れやすく、不安定で、カオス的なのか、まったく理解していなかった。それを示すには、数学的なセンスを備えた気象学者が必要だった。ここでのポイント： 気象学者エドワード・ローレンツは天気の予測不可能性を発見し、カオス理論の生みの親となった。1960年、エドワード・ローレンツは、真新しいコンピュータで天気のシミュレーションを走らせ始めた。彼は、天候パターンが時間とともにどう変化するかを研究しようとしていた。
そして、極めて不穏な事実に行き当たった。ローレンツの天気シミュレーションはごく単純で、雲さえもなかった。気温や気流といった条件は、数値で表されていた。それらが時間とともにどう振る舞うかを調べるため、ローレンツは変数のひとつを選び、その変動をグラフにしてプリントアウトしていた。1961年のある日、彼は前日のシミュレーションを再実行しようと思い立った。だが、前回のプリントアウトから数値を手入力し、シミュレーションの途中から始めることにした。
最初のうちは、2回目のシミュレーションは1回目と同じように動いていた。ところが、やがて変数たちの振る舞いがズレ始めた。シミュレーション上の時間が進むにつれて、そのズレはどんどん大きくなり、ついには2つ目のグラフの動きが、1つ目とはまったく異なるものになってしまった。この大規模な不一致を引き起こした原因は何か？ ローレンツが入力したのは、前回のシミュレーションの数値の、小数点以下3桁までだったのだ。
たとえば気流であれば、彼は「.506」と入力した。しかし、コンピュータの計算は実際には小数点以下6桁まで行っていた。「.506127」まで。このごくわずかな違いが、天気予測を以前の軌道から完全に外してしまうのに十分だったのだ。ローレンツは衝撃を受けた。
当時の他の科学者と同様、彼も小さな変動は、天気のような大規模なシステムに大きな影響は与えないと信じていた。だが、彼のミスは、そうしたシステムがいかに不安定で、予測不可能で、カオス的でありうるかを露呈したのだった。ローレンツはこれをバタフライ効果と名づけた。この効果とは、私たちの気象システムが小さな擾乱に極めて敏感で、今日北京で蝶が羽ばたくだけで、来月ニューヨークで猛威をふるう嵐の原因になりうる、ということだ。科学の用語では、これは「初期条件への鋭敏な依存性」として知られ、カオス理論という新分野の礎となった。
単純な非線形システムが、信じられないほど複雑な振る舞いを生み出すことがある。
初期条件への鋭敏な依存性は、いたるところに見られる。バスに乗り遅れて飛行機を逃し、出張全体が台無しになった経験があるなら、ご存じだろう。小さなミスが雪だるま式に大きくなり、完全なカオスに陥ることを。バタフライ効果は、ローレンツが天気に魅了された理由のひとつだ。つまり、たとえ地球全体を30センチ間隔の気象センサーで覆ったとしても、数週間先の天気を計算できないことを意味する。
天気の2つ目の魅力的な特徴は、それが非周期的だということだ。ほとんど周期的でありながら、決してまったく同じ繰り返しはしない。実際、ローレンツの真の天才性は、世界にカオスを見出したことではなく、カオスの中にほとんど秩序立ったパターンを明らかにしたことにある。ここでのポイント： 単純な非線形システムが信じられないほど複雑な振る舞いを生み出すことがある。天気のカオスを発見した後、ローレンツは同じような振る舞いをする物理システムを探し求めた。彼が発見した最も有名なカオスシステムのひとつが、水流がバケツを満たすのに合わせて回転する、単純な水車だった。ローレンツは、水流が十分に速いと、バケツが完全に満たされなくなり、車輪の動きが遅くなったり、逆回転したりすることを見出した。
非常に速い速度では、その動きはカオス的になる。私たちの天気も水車も、どちらも非線形力学系だ。しかし、それはどういう意味なのか？ ローレンツがこうしたシステムの背後にある数学を調べると、たった3つの単純な非線形方程式だけで、カオス的な振る舞いが生み出せることを発見した。非線形方程式とは、出力値が入力値に比例しない方程式のことだ。つまり、非線形力学系とは、ごく小さな変動が、勝手気ままに桁外れの効果を生み出しうるシステムなのである。
現実世界の多くの非線形力学系は、減衰され、かつ駆動される。毎回同じように押すことで加速させつつ、摩擦によって減速もする公園のブランコを想像してみてほしい。常識的には、ブランコの動きはすぐに均衡点、つまり毎回同じ高さと速さで揺れる状態を見つけるように思える。しかし、そうではないのだ。実際のところ、減衰と駆動を両方受けるシステムの大半は、決して均衡点に達しない。ローレンツが自分の3つの方程式をグラフにプロットしたところ、それらは特徴的な形、すなわち一対の蝶の羽のような、奇妙な三次元の二重らせんを描いた。
その動きは、ほとんど周期的でありながら、決して完全に繰り返されることはなかった――まさに天候や水車、公園のブランコのように。ほんのわずかな単純な方程式が、複雑に入り組んだカオスのパターンを生み出すというローレンツの発見は、革命だった。そして、あらゆる革命と同じく、現状維持に固執する人々からの反発に遭ったのだ。
1970年代、物理学者や数学者たちは非線形システムの研究に本腰を入れ始めた。
科学者だって、自分たちの期待が裏切られるのは、他の誰よりも嫌なものだ。そして、この世界の最も基本的な物理システムの一部が、まったくもってカオス的で予測不可能な振る舞いをするなど、彼らはまったく予想していなかった。だから当然ながら、彼らの大半は、1970年代以降に若く自由な発想を持つ科学者たちが取り入れ始めたこの新しいカオス理論に、さほど乗り気ではなかった。非科学的で、型破りに聞こえ、何より、彼らが宇宙について知っていると思っていたことを複雑にし、矛盾さえしているように思われたからだ。
ローレンツが登場するまで、ほとんどの科学者は世界を線形的に記述することに固執していた。たとえばガリレオは、振り子を研究した際、線形の運動理論を確信するあまり、実際には存在しない規則性を見てしまった。ここでのポイントは？ 1970年代、物理学者や数学者たちは非線形システムの研究に本腰を入れ始めた。ガリレオは、振り子がどんなに激しく揺れようと、常に同じ時間を刻むと考えていた。狭く揺れるなら、それはゆっくりで、
より広く揺れるなら、それだけ速く揺れる、と。しかし実際には、摩擦、空気抵抗、そして揺れる振り子の角度の変化が、その動きを非線形力学系へと変え、その動きはいとも簡単にカオス的になりうる。事実、振り子は、カオスに関心を持つ科学者たちが研究する最もポピュラーな対象のひとつとなった。カリフォルニア大学バークレー校の数学者スティーブン・スメイルは、カオスを真剣に受け止めた最初の一人だが、そのとき彼はローレンツの研究についてさえ聞いていなかった。スメイルはトポロジーを専門としていた。これは、幾何学的形状が変形、ねじれ、引き伸ばされるときに、どのような性質が保たれるかを研究する数学の分野だ。彼の幾何学的アプローチは、カオスシステムを視覚化するのに役立った。
スメイルは、振動する電子回路の振る舞い、とりわけファン・デル・ポール発振器を研究した。彼はトポロジーの知識を活かし、この非線形システムの挙動を視覚的に例える強力なアナロジーを生み出した。彼は三次元空間内の長方形が、押しつぶされ、引き伸ばされ、馬蹄形に折り畳まれる様子を想像した。そして、その馬蹄形の周りに再び長方形を置き、そのプロセスを望むだけ何度でも繰り返すのだ。長方形上の近接するどんな2点を選んでも、それらが馬蹄形の写像のどこに行き着くかは決して推測できない。驚いたことに、スメイルは、カオスと不安定性が同じではないことも発見した。
彼は、非線形システムは、その平均的な挙動においては、線形システムよりもはるかに安定しうることを見出したのだ。外部からのノイズや擾乱に直面しても、非線形システムはすぐに、以前と変わらぬカオス的なパターンへと戻っていく。スメイルがローレンツの研究を知ったのは後になってからで、一人の気象学者が自分より10年も前にカオスの数学を先取りしていたことに驚いた。人々がローレンツとスメイルの研究を結びつけ始めたことで、単純で決定論的なシステムが生み出す豊かさと複雑さに魅了される、新世代のカオス専門家への道が開かれたのだ。
動物の個体数は、非線形力学系のように振る舞う。
非線形力学系は、数学者や物理学者の単なるお遊びではない。ローレンツが天候の研究で示したように、非線形システムは自然界の基本だ。たとえば動物の個体数は、非線形で力学的な変化を見せる。個体数が時間とともにどう振る舞うかを研究する生物学の下位分野は、生態学と呼ばれ、その発見をカオス理論と結びつけた最初の分野のひとつである。
個体数増加の基本的な数学はシンプルだ。動物が多ければ多いほど、より多くの子孫を残せる。しかし様々な理由から、動物の個体数はただ増え続けるわけではない。たとえば限られた食料資源を考慮に入れると、数学ははるかに複雑になる。最初は、少数の個体数が急激かつ指数関数的に増加するかもしれない。しかし、数が増えるほど、成長は遅くなる。
時には、予測不可能にも、完全に崩壊してしまうこともある。生態学や経済学では、これは「ブーム・バスト・サイクル（栄枯盛衰の循環）」として知られている。ここでのポイントは？ 動物の個体数は、非線形力学系のように振る舞う。生態学者が、マイマイガの個体数が時間とともにどう変化するかを研究するとしよう。現実世界では、この変化はなめらかに、1匹ずつ起こる。
このような滑らかで非線形な変化を記述できる数学的方程式は、微分方程式と呼ばれる。しかし微分方程式は計算が複雑で、そもそも大半の生物学者は数学を好まない。そこで彼らは、変化を小さな跳び越しで――たとえば年ごとに――測定する差分方程式を用いる。マイマイガの個体数が毎年どう変わるかを記述する、現実的な差分方程式には、ある時点を過ぎると成長を抑制する要素が必要だ。この条件を満たす最も単純な方程式が、ロジスティック微分方程式である。長い間、生物学者たちは、この手の方程式は常に均衡点に達すると信じていた――あたかも動物の個体数がそうであるかのように。
生態学者ロバート・メイは、ロジスティック微分方程式をいじっていたときに、驚くべき発見をした。メイは、架空の動物個体数における「ブーム・バスト」の度合いを強めていくと、システムが奇妙な振る舞いを始めることを発見したのだ。最初に、個体数の周期的なサイクルが時間的に倍加し、さらに倍加する――いわゆる周期倍分岐へと突入するのだ。そして最終的に、システム全体がカオス的な状態に陥った。
メイは、この説明を求めて、数学者の友人であるジェームズ・ヨークのもとを訪れた。ヨークは、記念碑的な論文「周期3はカオスを意味する」の中で、システムが周期倍分岐へと分裂し始めると、カオスが出現するのは程度の問題に過ぎないことを示した。彼は、科学者たちがそのような分岐を見逃しがちなのは、自分たちが研究するシステムに潜むカオスを見たくないからだ、と考えた。その後、カオス理論への関心を疫病の研究に応用したメイは、それらの分岐を真剣に受け止めた最初の科学者の一人である。
マンデルブロのフラクタル幾何学が、複雑な力学系の無限に入り組んだパターンを明らかにした。
数学者であり博学者のベノワ・マンデルブロは、その生涯を通じて、歓迎されない場所に身を置くことが多かった。まず、子供時代の1930年代に、一家でポーランドからフランスへと逃れた。戦後、彼は数学を学んだエコール・ポリテクニークの知的風土に息苦しさを感じていた。当時は純粋数学が全盛で、同僚たちは彼の数学的問題への視覚的なアプローチを評価しなかった。
そこでマンデルブロはアメリカへと逃れ、ニューヨークのIBMの研究所に職を得た。研究においても、マンデルブロはしばしば歓迎されざる領域を選んだ。IBMでの彼の初期の関心のひとつは、所得分布や物価変動といった経済パターンの研究だった。19世紀の綿花価格の変動を調べたとき、彼の名を有名にすることになる発見――私たちの宇宙が複雑に入れ子状になっているという、最初の片鱗を垣間見たのだ。ここでのポイント： マンデルブロのフラクタル幾何学が、複雑な力学系の無限に入り組んだパターンを明らかにした。当時の経済学者たちは、価格は短期的にはランダムに変動する傾向があるが、長期的には経済政策や新技術といった実質的な力に反応すると信じていた。
さらに彼らは、ほとんどの価格は平均値の周りに収束するはずだと考えていた。しかし、前世紀の綿花価格は明らかにそうはなっていなかった。マンデルブロは、IBMが提供する最新鋭のコンピュータを使って調査した。そして面白いことを発見した。日次の価格変動と月次の価格変動が一致し、小さなトレンドがより大きなトレンドの中に入れ子状に存在していたのだ。マンデルブロはこのスケールの対称性に魅了され、すぐに他の構造――抽象的な数学的構造と現実世界の現象の両方に――それを見出した。たとえば、山や雲といった自然界の多くの構造が、自分自身のより小さなバージョンへとどこまでも分割できることに気づき始めた。
マンデルブロは、こうしたタイプの構造を自己相似、あるいはフラクタルと呼んだ。この発見を説明するため、マンデルブロはある単純な質問を好んだ。「イギリスの海岸線の長さは？」 地図を見て、定規で海岸線を測り、その測定値を縮尺に合わせれば、この質問には簡単に答えられるだろう。しかし、海岸線の入り江や小さな凹凸を本当にすべて測ったと言えるだろうか？ おそらく違う。そのためには、海岸全体を歩き、その曲がりくねりの一つひとつを測らなければならない。
しかし、ちょっと待ってほしい――海岸線を構成する岩や小石の輪郭を、本当にすべて測れるだろうか？ 測定単位が小さくなればなるほど、海岸線は長くなる。測定単位を原子レベルにまで小さくしていけば、イギリスの海岸線の長さは無限大に近づく。マンデルブロの新しいフラクタル幾何学は、この無限性――私たちの世界の粗野で、バラバラで、断片的な性質――を考慮に入れる。
フラクタル幾何学が非常にエレガントで美しかったため、マンデルブロは学会でちょっとしたスーパースターとなった。彼の無限に入り組んだ幾何学的構造は、カオス理論の視覚的表現となった。臨終の床で、量子物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクは、物理学に関する2つの質問を神に尋ねると誓った。なぜ相対性理論なのか？
ストレンジアトラクターは、物理学者が乱流の複雑な動きを理解するのに役立った。
そして、なぜ乱流なのか？ 「最初の質問には、神も答えをお持ちだと思うよ」と、ハイゼンベルクは冗談を言った。物理学に長年横たわる問題のなかでも、乱流は最も厄介なもののひとつである。それは、気体や液体の滑らかな流れが突然乱れて、渦やうず巻きへと分裂するときに生じる。
乱流は至るところにあり、技術者たちにとって大きな問題だ。タバコの煙の輪が安定して立ち昇った後、小さなカールに分かれるのを、私たちは魅了されて見守るかもしれない。しかし、自分が乗っている飛行機の翼の下で同じことが起きたら、むしろパニックに陥るだろう。長い間、流体力学の研究は絶望的な仕事に思われたため、物理学者たちはそれを、実用的な意味合いに取り組む技術者たちに任せていた。しかし、カオス理論が流体力学に新たな光を投げかけると約束したのだ。ここでのポイント： ストレンジアトラクターは、物理学者が乱流の複雑な動きを理解するのに役立った。
カオス理論以前、物理学における乱流の最も重要な理論は、ロシアの科学者レフ・D・ランダウによって提唱された。彼は、あらゆる液体や気体は多数の個別粒子から構成されており、その運動は隣接する粒子の運動に依存すると考えた。滑らかな流れの中では、粒子の自由度は少ない。しかし、流れが乱流へと変わると、粒子はますます多くの自由度を獲得し、さらなる乱流を生み出す。1973年、ランダウのアメリカ人同僚であるハリー・スウィニーとジェリー・ゴラブは、この直線的なやり方で乱流が蓄積されることを証明しようと手を組んだ。彼らは研究対象として単純な流体運動を選び、2つの円筒からなるシステムを構築した。一方の円筒が、その内部で回転し、その間の空間を液体が流れる仕組みだ。
最初、液体は滑らかに流れる。しかし円筒の回転が速くなるにつれて、液体は波状の帯となって流れ始める。さらに速度を上げると、動きはカオス的になり、乱流が出現する。その過程は、決して徐々に起こるようには見えなかった。最も重要なことに、乱流の中でも液体の流れは一様にカオスなわけではなく、滑らかな流れの領域が乱流の領域と隣り合って存在していた。ここで、ベルギーの物理学者ダヴィッド・リュエルが救いの手を差し伸べた。
1970年代初頭、彼はスティーブ・スメイルによるカオスの講演に参加し、ランダウの流体運動理論に代わる理論に取り組んでいた。力学系における乱流の発生を視覚化するために、彼はその運動を位相空間にプロットした。位相空間とは、ある時点における系の取りうる全状態を追跡する抽象的な空間であり、科学者が系がどのように進化するかを視覚化するのに役立つ。系によっては、位相空間内に「アトラクター」を持つものがある――それは、平衡状態に達する固定点だったり、周期的に示す動的な状態だったりする。リュエルが発見したのは、多くの非線形力学系が、彼が「ストレンジアトラクター」と呼ぶものを持つということだ。これらの系は、位相空間内の特定の点の周りを周回するが、まったく同じ周期で回ることは決してない。
リュエルがこの論文を発表した後、他の科学者たちは、自らストレンジアトラクターを構築し始め、自然界のカオスの中にそれを見出していった。たとえば天文学者ミシェル・エノンは、「球状星団」の中心を周回する星の軌道が、ストレンジアトラクターに対応することを発見した。ここでも、先駆者はエドワード・ローレンツだった。彼が最初の非線形システムをプロットしたときに発見した、果てしなくループする蝶の羽のペアを思い出してほしい。ローレンツアトラクターは、史上初めて記述されたストレンジアトラクターだったのである。
非線形システムの普遍的原理を発見したミッチェル・ファイゲンバウムが、カオス理論の信頼性を新たな高みに引き上げた。
1974年、ニューメキシコのロスアラモス国立研究所で、職員と警察は少し心配になり始めていた。身なりの乱れた男が、夜な夜なキャンパスを歩き回り、チェーンスモーキングをしながら、不規則に歩き回っていたのだ。その風変わりな男の正体は、ミッチェル・ファイゲンバウムという若き数理物理学者で、驚くべき発見を目前にしていた。ファイゲンバウムは、同僚たちからも「天才の中の天才」のような存在として知られていた。
彼のカオス理論への進出は、相転移を扱うごく単純な非線形方程式の研究から始まった――生態学者ロバート・メイが動物の個体数の研究に用いたものとよく似ている。メイと同様にファイゲンバウムも、単純なシステムが信じられないほど複雑な振る舞いを生み出すこと、そして、決して均衡点を見いだせないシステムもあるという考えに魅了されていた。ここでのポイント： 非線形システムの普遍的原理を発見したミッチェル・ファイゲンバウムが、カオス理論の信頼性を新たな高みに引き上げた。ファイゲンバウムが特に関心を持ったのは、ほとんど非推移的なシステムだった。これは、長い間ある平均状態の周りを振動しているが、その後ランダムにまったく別の平均状態に跳び移る非線形システムである。たとえば、気候学者たちは長らく「白い地球」という絵図を描いてきた。
もし地球が十分な氷と雪で覆われれば、太陽からの熱を非常によく反射するため、はるかに寒冷な気候に落ち着くというのだ。この白い地球シナリオは非常に尤もらしいため、科学者たちは、地球の数十億年の歴史の中で、なぜそれが起こらなかったのか不思議に思っている。ファイゲンバウムは、秩序とカオスの境界、すなわち新しい平均状態への移行が起こる、まさにその境目に関心があった。彼はハンドヘルド計算機を使い、さまざまな非線形方程式の周期倍分岐の値を決定していった。それら方程式の数値を入力しているとき、ファイゲンバウムは予期せぬ規則性に気づいた。数値が、幾何学的に収束していったのだ。
ファイゲンバウムが、その方程式の周期倍分岐の収束比を計算すると、4.6692016090という数字が得られた。しかし、本当に驚くべき発見は、別の非線形方程式でその比を計算したときに訪れた。まったく同じ数字が出たのだ。彼は、見つけうる限りの非線形方程式すべてについて計算を繰り返したが、結果は常に同じだった。生物学者ロバート・メイでさえ、後に、変化する動物個体数の非線形方程式を研究した際に、この数字に出くわしたことを思い出したほどだ。
ロスアラモスの研究室で、ファイゲンバウムはこの新たな理論に熱狂的に取り組み始めた。1日22時間の作業を2か月続けた後、彼はついに普遍的原理であるファイゲンバウム定数を概説した。ファイゲンバウム定数は、成長しつつあったカオス理論の新たな重要な側面を象徴していた。それは、普遍性である。それまで科学者たちは、非線形力学系はすべてケースバイケースで扱わねばならないと信じていた。
しかしファイゲンバウムは、非線形システムには変わらない特定の特徴が存在し、それらは予測さえ可能であることを示したのだ。ファイゲンバウムの理論が数学的に証明されたのは1979年になってからだった。しかし、ファイゲンバウム定数の発見は、新しいカオス理論分野を統一し、それまで伝統的な科学者たちの目に欠けていた信頼性を、この理論に与えるのに十分だった。1977年までには、ほとんどの科学者が、カオス理論という風変わりな物理学の新分野について耳にしていたのである。
サンタクルーズの若き数学者たちが、コンピューターの視覚化と日常現象を用いてカオス理論を広めた。
同年、最初の大規模なカオス会議がイタリアのコモで開催された。しかし、もしあなたがカオスに興味を持つ数学や物理の若き学生なら、指導者――ましてや教授――は依然として存在しなかった。カリフォルニア大学の新設キャンパス、サンタクルーズ校では、若き数学者たちのグループが、自力で道を切り開いた。それは、ロバート・ステットソン・ショウという物静かな大学院生から始まった。
彼はローレンツアトラクターのことを耳にし、キャンパスにある大型のアナログコンピューターで、その方程式をプロットして遊び始めた。ショウはコンピューターのつまみを回すことで方程式の変数を調整でき、そのおかげで、ローレンツが発見した初期条件への鋭敏な依存性を視覚化することができた。彼の作業はすぐに観衆を集め、やがて同級生や数学者のドイン・ファーマー、ノーマン・パッカード、コンピューターの専門家ジェームズ・P・クラッチフィールドが加わった。彼らは自らを「力学系集団」と名乗った――もっとも、学友たちからは時折「カオス・カバル」と呼ばれたが。ここでのポイント： サンタクルーズの若き数学者たちが、コンピューターの視覚化と日常現象を用いてカオス理論を広めた。
力学系集団は、自分たちのコンピューター室に、他のプロッターや変換器、フィルターを満たしていった。すべてのコンピューターと機械を用いて、彼らは非線形システムのランダムな動きを視覚化し、カオスの中にパターンを見出すことができた。たとえば、ストレンジアトラクターの特定の形が、それが描き出すシステムについて何を明らかにするのかを研究した。彼らの永続的な貢献のひとつは、カオスの研究と情報理論を結びつけたことである。情報理論は、デジタル情報の保存と伝送を扱う。情報理論の鍵となるのは、エントロピー、すなわち、私たちの宇宙とすべての物理システムは、より高い無秩序の状態へと向かう、という概念だ。
たとえば、インクの瓶をプールに流し込めば、インクが広がり散逸し、水とインクの分子が完全に混ざり合うのを目にするだろう。力学系集団は、ストレンジアトラクターは情報のエンジンであると論じた。それらはシステムのエントロピーを高め、乱雑で、斬新で、予測不可能な振る舞いを生み出す。集団は、このカオス的な情報の創出が、私たちの思考プロセスや生物進化の方向性の背後に潜んでいるのではないかと推測した。しかし彼らは、カオス理論をコンピューター時代にもたらしただけではない。それが日常の現象にいかに当てはまるかも示したのだ。
彼らは一緒にカフェに座り、こんなことを自問するのを好んだ。「一番近くにあるストレンジアトラクターはどこだろう？ ガタガタと音を立てる車のフェンダーはカオスシステムだろうか？ 風にパタパタとはためく旗は、非線形的に振る舞っているだろうか？」 ある実験では、ロバート・ショウは、蛇口の水滴でさえ、ランダムで、限りなく創造的なパターンを生み出しうることを示した。身近な例と最先端のコンピューター視覚化を用いて、力学系集団はカオス理論をその人気の絶頂へと押し上げた。経済学、生態学、気象学の科学者たちが注目し始め、この分野は爆発的に広がったのだ。
非線形力学系は自然界の至るところに存在し、特に私たちの生物学にとって重要である。
カオスの概念が科学の主流に入り込むと、研究者たちは身の回りの至るところに非線形力学系を発見し始めた。フランスの医師アルベール・リブシャベールは、ファイゲンバウムの乱流流体運動に関する理論を証明するための実験に、技術者とチームを組んだ。リブシャベールは、2枚の金属板の間に液体ヘリウムを満たした微小な箱を製作し、それぞれの板を別々に加熱できるようにした。プレート間に数ミリ度の温度差を生じさせると、ヘリウムは動き始めた。
最初は、温かい液体が上昇し冷たい液体が沈むにつれて、ヘリウム流体は2つの回転する円筒へと自己組織化した。しかしリブシャベールが温度を上げていくと、彼はおなじみの周期倍分岐のパターンを観察した。リブシャベールは、自然はノイズや不具合、エラーに対する防御として、非線形性を用いているのではないかと推測した。線形システムがわずかな揺さぶりを受けると、永久に軌道を外れてしまう。非線形システムが同じ揺さぶりを受けると、どういうわけか正常な状態へと戻る道を見つけるのだ。ここでのポイント： 非線形力学系は自然界の至るところに存在し、特に私たちの生物学にとって重要である。
1980年代、医師たちはリブシャベールのカオスと生物学に関する直感を裏付け始めた。医学におけるカオスに関する大きな学会で、物理学者ベルナルド・ウベルマンは、統合失調症患者の眼球運動に関する非線形モデルを発表した。この診断を受けた人々、そして時にはその親族も、振り子のように揺れる物体を目で追跡することが難しい。彼らの目は、その動きに合わせて滑らかに動く代わりに、不規則に飛び跳ね、決して標的を正確に捉えられない。医師たちは身体を、それぞれが固有の微細構造と機能を持つ様々な臓器の集合体として考えがちだ。ウベルマンの講演は、普遍的な運動法則が、他のどこでもそうであるのと同様に、人体にも当てはまることを示した。
ランダムな運動、非線形な振動、分岐するリズムのパターンは、生物学的構造にも見出せるのだ。心臓について考えてみよう。私たちの心拍は周期的であり、鼓動の不規則性はどれも非常に危険でありうる。そのような不規則性のひとつが、心室細動と呼ばれるものだ。これは、心拍の根底にある協調的な収縮の波が乱れ、個々の筋肉細胞やペースメーカーの結節が同期を失ったときに起こる。心臓は、規則正しい収縮と弛緩のパターンの代わりに、ミミズの袋のように身もだえする。
心室細動は、毎年何千もの突然死を引き起こしている。今日、医師たちは、心臓が非線形力学系であり、その動きは、正確にタイミングを誤った衝撃が与えられると、カオス状態へと陥りうることを知っている。内部の不具合であれ外部からの衝撃であれ、まさに間違ったタイミングでの小さなインパルスが、心臓を分岐ラインの向こう側へと押しやり、細動に陥らせうるのだ。幸いなことに、小さな衝撃は、細動を起こした心臓を軌道に戻す手助けにもなる。まさに医師たちが除細動器を用いるやり方だ――彼らは心臓に小さな電気的ショックを与えて、正常な振動リズムへと戻すのである。今日、医師たちは、呼吸障害やある種の白血病、おそらくは統合失調症といった、より多くの力学的疾患を特定している。
アインシュタインはかつて、「神は宇宙とサイコロを振らない」と有名な言葉を残した。カオス理論の発見は、物理学者ジョセフ・フォードをして、こう反論させた。神は確かにサイコロを振っている――しかし、それは「いかさま」のサイコロだと。現代物理学の目標は、フォードが論じたように、「どんなルールで、そのサイコロに細工が施されたのかを見つけ出すこと」だったのだ。
まとめ
1960年代のエドワード・ローレンツの天気シミュレーションから始まり、科学者たちは単純な物理システムに潜むカオスを発見した。驚くべきことに彼らは、単純な法則が複雑で、予測不可能で、カオス的な振る舞いを生み出しうることを見出した。そのような非線形力学系は、天気から動物の個体数、私たちの心拍に至るまで、世界の至るところに存在する。しかし、カオスは決して無秩序なだけではない。
ベノワ・マンデルブロのような数学者や、ミッチェル・ファイゲンバウムのような物理学者は、私たちの世界のカオスには、奇妙で美しい秩序があることを示した。実践的なアドバイス：カオスゲームを試してみよう。 カオスゲームは、単純な法則が複雑に入り組んだカオスのパターンを創り出せることを示すために、イギリスの数学者マイケル・バーンズリーが考案したものだ。用意するものは、コイン、紙、そしてペンだけ。紙の上のどこからでも始めよう。次に、表と裏に対応するルールを作る。たとえば、「表が出たら中心に25%近づく」、「裏が出たら南に5センチ動く」といった具合だ。
さあ、コインを投げて、そのたびに紙の上に新しい点を記していこう。いずれ気づくはずだ。カオスゲームは点のランダムな散らばりを生み出すのではなく、実際には、はっきりとした形を浮かび上がらせ始める。なぜなら、ランダムなプロセスであっても、カオスには秩序があるからだ。
