『スケール』（2017年）は、世界を結びつける隠れた数学的関係性の魅惑的な世界を垣間見せてくれる一冊です。本書の要約では、微細な生物から国際的大都市まで、あらゆるものを結びつける法則と、それが複雑系の振る舞いについて教えてくれることを解説します。
この本から得られること：規模とスケールが生み出す複雑な関係性を読み解く
一辺が10cmの立方体、つまり体積が1リットルの立方体を想像してみてください。その隣に、一辺が20cm、つまり最初の立方体の2倍の長さの立方体を想像してください。二つ目の立方体の体積は？簡単ですね、最初の立方体の2倍ですよね？
いいえ、違います。実際には8倍なのです！これから見ていくように、サイズとスケールに関しては、私たちの直感はしばしば誤った方向へ導きます。幸いなことに、私たちはこれを、様々な現象がスケールする際の関係性を支配する法則、すなわちスケーリング則を学ぶことで補うことができます。
これらの法則を詳しく見て、世界について何がわかるのか探ってみましょう。この要約では、以下のことがわかります。
- なぜゴジラは存在し得ないのか
- なぜ1800年代初頭、蒸気船は採算が取れないと考えられていたのか
- スケーリング則から見る、地球上での私たちの未来
すべての生命と文化を支える隠れたパターン
しかし実際には、生物学的、社会経済的な生命の複雑さの背後には、驚くほど体系的なパターンが存在します。例えば、動物の代謝率（単位時間あたりに消費するエネルギー量）を体重に対してグラフにプロットすると、完全な直線が現れます。そう、ネズミからゾウに至るまで、あらゆる動物の代謝率は、体重に対して完全に固定されているのです。それだけでなく、同じ方程式で代謝率を生涯の総心拍数に置き換えても、やはり直線が得られます！
ただし、ここには一つの仕掛けがあります。この結果を得るには、目盛りが対数である必要があります。つまり、各軸の単位が10倍ずつ増加する（1から10、100…というように）必要があるのです。経済学の世界から例を挙げましょう。ある都市で登録された特許の数をその都市の人口に対してプロットすると、特許数は人口よりも15%速く増加し、やはり直線を描きます。これらの驚くべき相関関係は、単なる偶然でしょうか？そうではありません。あなたが実際に観察しているのは、スケーリング関係と呼ばれるものです。
上記の例は、生物や都市がサイズとともにどのようにスケールするのか、その一端を示したに過ぎません。この現象を理解することで、世界について多くのことが解明されます。例えば、新薬はしばしば、人体への影響をモデル化するためにマウスでテストされます。しかし、マウスはもちろん人間よりもはるかに小さい。では、科学者はどうやってげっ歯類のテストから人間についての結論を導き出せるのでしょうか？スケーリングがその答えを説明してくれます。以下の要約では、スケーリングが生物、都市、さらには企業を説明できる他の驚くべき方法について学んでいきます。
スケーリング則は線形であることは稀であり、これには重要な意味がある
『ゴジラ』のような映画の巨大モンスターに、観客は熱狂します。しかし、そのような巨獣は現実に存在し得るのでしょうか？ほとんどの人は、そんなアイデアは純粋なSFだと言うでしょう。そして17世紀、イタリアの物理学者であり数学者であったガリレオ・ガリレイは、すでに彼らが正しいことを知っていました。結局のところ、スケーリング則が線形に機能することは稀なのです。
1平方フィートを考えてみてください。各辺の長さを3フィートにスケールアップすると、囲まれた面積は9平方フィートになります。言い換えれば、辺の長さは3倍になりますが、面積は9倍になります。同様に、1辺3フィートの立方体の体積は27立方フィートです。つまり、立方体の辺の長さが1フィートから3フィートに増加すると、辺の長さは3倍になりますが、体積は27倍になるのです！つまり、面積と体積は長さに対して線形にスケールするのではなく、長さの二乗、三乗でスケールするのです。しかし、これがゴジラとどう関係するのでしょうか？
ゴジラは人間の約60倍の大きさです。その体積、したがって質量は、人間の平均体重の60³倍、つまり21万6000倍になります。しかし、骨の長さと強度は60²倍、つまり3600倍にしかなりません。その結果、ゴジラは骨の強度に比べて60倍重くなり、骨は瞬時に砕けてしまうでしょう。
このように、非線形性はゴジラが実在しない理由を説明しますが、同時に重要な実用的な示唆も持っています。例えば、1800年代初頭、大西洋横断蒸気船は、燃料を収容するのに莫大なスペースが必要なため、一般的に経済的に成り立たないと考えられていました。しかし、イギリスのエンジニア、イザムバード・キングダム・ブルネルが示したように、船が運べる貨物の体積が寸法の三乗でスケールするのに対し、船に作用する抗力は船体のサイズにのみ比例して増加し、それは船の寸法の二乗でスケールします。簡単に言えば、船が大きくなればなるほど、1トンの貨物を運ぶのに必要な燃料は少なくなるということです。
生物学的スケーリング則はネットワークベースの理論で説明できる
ここまでで、ほぼすべての動物の代謝率と体重の関係が、単純なスケーリング則に従うことを学びました。しかし、さらに正確に言うことができます。体重が10⁴倍、つまり4桁増加すると、代謝率は10³倍、つまり3桁増加するとも言えます。まだ説明していないのは、このような関係がどのようにして、事実上すべての生命体で同一であり得るのかということです。
著者はこれについて一つの理論を持っています。彼は、ネットワークベースの理論が生物学的スケーリング則の起源を説明できると考えています。これはどういう意味かというと、すべての生物学的システムは、エネルギー、物質、情報を輸送するネットワークを通じて機能しているということです。一般的な例としては、循環系、呼吸器系、神経系などがあります。そのようなネットワークは三つの一般的な特性を共有しており、これが生物多様性の隠れた規則性さえも説明するかもしれません。第一に、ネットワークは空間充填的です。つまり、ネットワークの触手は、それが機能を提供するシステムの隅々にまで届く必要があるということです。
第二に、末端ユニットは不変です。つまり、循環系の毛細血管のような末端、すなわち供給ノードは、生物のサイズに関係なく、ほぼ同じサイズで類似した特性を持っています。例えば、シロナガスクジラの毛細血管は、実際には人間のものとほぼ同じサイズなのです。その理由を理解するために、あなたの家とエンパイア・ステート・ビルを考えてみてください。もしこの超高層ビルのコンセントがその高さに比例してスケールアップされたとしたら、あなたの家のコンセントの50倍の大きさになってしまうでしょう。
そして第三に、進化という長いプロセスを経て、生物学的ネットワークのパフォーマンスは最適化されます。例えば、様々な設計上の制約に直面するため、人間の心臓は、循環系を通して血液を送り出す際に、可能な限り少ないエネルギーで済むように進化してきました。これら三つの一般的なシステム特性を数学的言語に翻訳することで、著者は世界で認識できる驚くべき規則性に対する、明快な説明を見出しました。
生物学的ネットワークは四次元へと拡張し、人間の成長が止まる理由を説明する
スケーリング則の背後にある数学的詳細を詳しく見ると、さらに別の驚きが発見されます。ほとんどの場合、生物学的スケーリング係数には1/4または3/4という数字が含まれています。例えば、植物の質量の関数として表される葉の数は、2の3/4乗の係数で増加します。では、この「4」という数字の不思議な普及を説明するものは何でしょうか？その答えは、生物学的ネットワークの特性の奥深くに埋もれています。
これらのシステムはフラクタルに似ています。つまり、その幾何学形状は高度な自己相似性を示します。言い換えれば、ネットワークのある一点にランダムにズームインすると、局所的な画像はズームアウトした画像のように見えるのです。カリフラワーを考えてみてください。一つの小花を切り取ると、それは全体のミニチュア版のように見えるでしょう。そうは言っても、形状がより曲がりくねっているほど、それはより高次の空間次元へと「拡張」します。これが四次元です。そして、それは実際、理解するのはそれほど難しくありません。二次元の紙の上にある一次元の線を考えてみてください。
紙がより曲がりくねっているほど、それはページの全空間を満たし、より二次元的に見えます。同様の方法で、すでに学んだように、生物学的ネットワークは空間充填的です。つまり、それらは自身の次元を超えた次元へと拡張しているように見えるのです。スケーリング則において「4」という数字が共通して果たす役割を説明するのは、この「第四の次元」なのです。この重要な数字は、人間が成人期に成長を止める理由さえも説明します。生物のサイズを2倍にすることを想像してみてください。そうすることで、それに含まれる細胞の数と、その維持に必要なエネルギー量が2倍になります。
しかし、スケーリング則は、生物の代謝率が2の3/4乗（これは2より小さい）の係数でしか増加しないことを示しています。このため、エネルギー需要はエネルギーが生産されるよりも速く増加し、成長を停止させます。生物の世界には、スケーリングの法則に関するこのような興味深い事例が溢れていますが、社会的、経済的領域もまた、説得力のある例を提供しています。これらの概念については、次の要約でさらに学んでいきます。
スケーリングは一見異なる都市間の驚くべき類似性を明らかにし、生物学的ネットワークは都市中心部に類似する
ニューヨーク、パリ、サンパウロの都市を考えてみてください。これらは一見、多くの共通点があるようには見えないかもしれません。結局のところ、それらは世界の異なる場所にあり、非常に多様な文化の本拠地です。それでも、これらの大都市には多くの隠された類似点があり、スケーリング関係はそれらを明白にすることができます。例えば、都市内のガソリンスタンドの数や、パイプ、道路、電線の総延長はすべて、人口に依存する単純なスケーリング則に一貫して従います。
その仕組みはこうです。都市の人口規模を2倍に、つまり100%増加させた場合、ガソリンスタンドの数、そしてパイプ、道路、電線の長さは85%しか増加しません。次に、15%ルールがあります。これは、都市が大きければ大きいほど、賃金、一人当たりGDP、犯罪率、エイズやインフルエンザの感染率、レストランや特許出願の数が高くなるというものです。これらはすべて十分に直感的ですが、衝撃的なのは、これらすべての指標が1.15倍の係数で増加するということです。つまり、人口1万人でレストランが100軒ある都市は、人口が10万人に増加すると、レストランは1,150軒になるということです。もっとも、豊かさは国によって異なるため、このようなスケーリング則は同じ国内の都市にのみ適用されます。
しかし、生物と都市の類似点はそれだけではありません。生物学的な生物と同様に、都市はネットワーク化されたシステムと考えることができます。結局のところ、都市はエネルギーと資源を代謝し、廃棄物や情報を生み出し、成長し、適応し、進化します。生物学的ネットワークの三つの一般的な特性でさえ、都市の中に同等の特徴を見出すことができます。例えば、生物学的ネットワークは空間充填的ですが、道路、パイプ、電線といった都市の輸送ネットワークも同様です。もしそうでなければ、それらは都市のすべての住居にサービスを提供することは決してないでしょう。
生活の速度、社会的相互作用、経済活動はすべて都市の規模に応じてスケールする
現代生活は都市と非常に密接に結びついており、著者は新たな人類の時代が到来していると感じています。彼の意見では、それは18世紀後半の産業革命とともに始まり、アーバノシーン（都市新世）と呼ぶことができます。では、スケーリング則は人類史のこの新たな期間について何を教えてくれるでしょうか？生物学では、サイズが大きくなるにつれて生命のペースは遅くなります。
例えば、ゾウはネズミよりもはるかにゆっくりとエネルギーを代謝し、また、はるかに長く生きます。しかし都市では、サイズとともに生活が加速するように見えます。歩行速度を例にとってみましょう。それはしばしば都市の規模とともに増加します。実際、人口数千人の小さな町では、平均歩行速度は人口100万人を超える都市のわずか半分であり、大都市の平均速度は時速約6.4kmに達します。しかし、都市の規模に応じてスケールするのは生活のペースだけではありません。社会的相互作用や経済活動も同様です。例えば、著者は携帯電話のデータを分析し、人々が電話に費やす時間と電話をかける回数の両方が、住んでいる都市の規模に比例して一定の割合で増加することを発見しました。
ポルトガルのリスボン（人口56万人）を考えてみてください。そこでは、人々はポルトガルの田舎町リシャ（人口4,200人）の人々と比較して、約2倍の時間を電話に費やし、2倍の人数に電話をかけています。あるいは別の例を考えてみましょう。都市が大きければ大きいほど、より多くのビジネスが存在するのは言うまでもありませんが、ビジネスの多様性、つまり異なるタイプの事業所の数は、規模に応じて非常にゆっくりとしか増加しません。結果として、都市の人口を2倍にすると、ビジネスの総数は平均して2倍になりますが、ビジネスの多様性はわずか5%しか増加しません。
スケーリングは、企業の規模と年齢に対応する普遍的なダイナミクスを明らかにする
ビジネスの数と多様性が都市の規模に応じてどのようにスケールするかを学びました。しかし、ビジネス自体の内部で発生するスケーリングはどうでしょうか？売上高、経費、利益は規模に応じてどのようにスケールするのでしょうか？実際には、これらすべての指標に驚くほど共通したスケーリングパターンが存在します。
例えば、純利益、粗利益、総資産、売上高はすべて、従業員数で測定される企業規模に対して驚くほどの規則性でスケールアップします。つまり、一方の軸にこれらの指標を、もう一方の軸に従業員数をプロットすると、完全な直線が得られるのです。言い換えれば、従業員100人の企業が1,000万ドルの売上を生み出している場合、同じ会社が1,000人を雇用していれば、1億ドル相当の売上を上げるでしょう。ここでの意味は、業界、場所、年齢に関係なく、ビジネスの規模のみに依存する明確なパターンが存在するということです。年齢は実際、ここでは興味深い要素であり、それに対応する独自のスケーリング則があります。生物と同様に、企業は生まれ、成長し、そしてほとんどの場合、最終的には死にます。
それだけでなく、生物と同様に、企業は若い頃に急速に成長し、その後、安定した、しかし遅い成長率に落ち着きます。結果として、セクター、場所、規模に関係なく、企業の生存率はその年齢のみに基づいて驚くほどの精度で計算できます。例えば、株式公開企業全体のおよそ半分しか、10年の節目を超えられません。企業が100年以上存続する確率は100万分の45であり、200年に達するのは10億分の1という極めて少数です。これを文脈に当てはめると、この法則は、Google、Facebook、Appleといった現代の一見無敵に見える企業でさえも、いつかは終焉を迎えることを意味します。これまで、スケールに関する多くのルールと、それらがどのようにあらゆる状況に対応するかを学んできました。
産業革命以来、世界は人口爆発を目の当たりにし、持続可能性への疑問が生じている
しかし、これらの法則は人間の生活全般にとって何を意味するのでしょうか？それらは人間の人口について多くのことを教えてくれます。例えば、産業革命以来、世界の人口は驚くべき速度で増加し続けています。この急増は、200万年もの間、人類の人口が安定した、はるかに遅い速度で増加していたため、予期せぬ変化を示しています。
この成長により、人類の人口は1805年頃に初めて10億人に達しました。しかし、次の10億人はわずか120年後に到来し、3度目はそのわずか35年後でした！結果として、現在、世界人口は70億人を超えており、2017年だけでも8,000万人増加しました。これは、世界に全く新しいドイツを一つ付け加えるのに相当します。要するに、私たちは指数関数的成長を経験しているのです。単位時間ごとに、測定される量は倍増します。別の言い方をすれば、1日目に人間が1人だった場合、2日目には2人、3日目には4人、というようになります。
しかし、すでに学んだように、あらゆる生物のサイズと成長には自然の障壁が存在し、科学者たちは、この急速な人口増加が持続可能かどうかについて激しく議論しています。結局のところ、地球の資源は有限であり、新しい人間一人ひとりに食料、衣服、教育が必要です。この問題を最初に特定したのはトマス・ロバート・マルサスで、1798年の著書『人口論』において、食糧供給は人口よりもゆっくりと増加し、最終的には文明の崩壊につながると予測しました。その後、ローマクラブという組織が1972年に、大いに議論を呼んだ研究を発表しました。
『成長の限界』と呼ばれるその研究は、持続的な人口増加がもたらす潜在的な破滅的結果を示しました。これらの研究者たちが行った予測の一部は誤りであることが証明されていますが、根本的な問題は残っています。人間の人口と経済は永遠に成長し続けることができるのでしょうか？その答えは次の要約で明らかになります。
地球がこれほど急速に加速する人口と経済の成長を維持できる可能性は低い
つまり、人口は産業革命とともに爆発的に増加し、それ以来指数関数的に増加し続けています。人々はこの持続的な成長がもたらす影響について警告してきており、そのような成長が人間社会と自然との関係を緊張させていることがますます明らかになっています。ここで疑問が生じます。私たちは、生物圏を破壊することなく、100億人を超える世界人口を維持し、消費レベルを増加させ続けることができるのでしょうか？地球の資源が有限であることを考えると、短い答えは間違いなく「ノー」です。
今日、世界の人口と経済の両方が指数関数的な速度で成長しているため、これは深刻な問題です。伝統的な経済理論は、そのような絶え間なく拡大する経済圏は可能であると主張します。しかし、指数関数的成長には、エネルギーと天然資源の両方の絶え間なく増加する供給も必要であり、それは地球が単純に提供できないものです。結果として、そのような制限のない成長は環境に深刻な悪影響を及ぼすでしょう。しかし、それは同時に失敗する運命にあります。この議論に反論するために、そのような概念の批判者は、イノベーションがこの難問を解決する上で重要な役割を果たすと言うのが常です。しかし、現時点では、イノベーションでさえ、世界を大規模な人口崩壊から救うのは難しいでしょう。結局のところ、イノベーションが成長によって引き起こされる問題に追いつくためには、画期的な発見もまた指数関数的なペースで起こる必要があります。
そのようなイノベーション理論を支持する人々にとって幸いなことに、この種の指数関数的なイノベーションは、近年の歴史では標準でした。実際、石器時代、青銅器時代、鉄器時代の間には数千年が経過しましたが、最近のコンピューター時代とそれに続く情報・デジタル時代の間には30年も経っていません。しかし、他の問題も迫っています。例えば、ほとんどの現代のライフスタイルに固有のストレスレベルでは、結果として集団的な心臓発作を起こさずに、どのようにして加速し続ける生活ペースが持続可能なのか想像するのは難しいです。地球は深刻な危機に瀕しており、真剣な行動が必要です。求められているのは、持続可能性というこれらの緊急の課題に取り組むために、最高の頭脳を結集させるマンハッタン計画のようなプロジェクトです。
最終的な要約
この本の中心的なメッセージ：多様な生物、都市、さらには企業の特性とダイナミクスは、驚くほど類似した法則によって結びついています。これらのルールは、生命の構造とシステム、そしてその限界を記述する、驚くべき、そしてしばしば隠された規則性を明らかにします。
ご意見をお待ちしております！本書のタイトルを件名にして、お気軽にご感想をお寄せください。さらに読むのにおすすめ：アーサー・ベンジャミン著『魔法の数学』 『魔法の数学』（2015年）は、数学の魅力的な世界に隠された魔法を明らかにします。この要約では、数学的観察の美しく、しばしば驚くべきパターンを示し、幾何学と代数学の知識を広げ、数値を使ったパーティートリックを教え、π（パイ）のような数の不思議な性質を解明します。
