本書では、イアン・スチュアートが数学と物理学の歴史に残る17の有名な方程式に焦点を当て、それらが社会に与えた影響を浮き彫りにします。科学的発見の驚異に関する歴史を簡潔にたどり、鮮やかな例と逸話を散りばめています。
何が得られる？ 数学の方程式がもつ大きな影響力を知ろう。
歴史の教科書には王や女王、戦争、自然災害が溢れていますが、方程式が登場することはまずありません。しかし、方程式は歴史の流れを何度も変えてきたのですから、これは実態を反映していません。
ピタゴラスの定理によって正確な地図が作れるようになり、アインシュタインの相対性理論は時間と空間の見方を根底から変えました。この要約では、一見どんなに抽象的でも、方程式が現実世界で思いがけない具体的な関係を明らかにすることを示します。本書で取り上げられる世界を変えた17の方程式のうち、ここでは最も身近で鮮烈な9つを紹介しましょう。以下のこともわかります。
- 三角形も円も正方形もすべて同じであること
- 車のカーナビが実はあなたを間違った惑星に連れて行きかねないこと
- フードプロセッサーがいかにカオスを生み出すか
- ひとつの方程式が株式市場の暴落を引き起こす仕組み
ピタゴラスの定理は地理の理解や太陽系における地球の位置づけを形作った
一見すると、ピタゴラスの定理は単純です。a²+b²=c² という方程式で、直角三角形の3辺の関係を説明しています。aとbは直角を挟む2辺、cが最も長い辺です。しかし、この単純な定理が正確な地図づくりに必要な幾何学的技術「三角測量」の発展に不可欠な第一歩でした。すべての多角形は三角形に分割でき、すべての三角形は2つの直角三角形に分けられるので、この方程式があればあらゆる多角形の辺や角度を計算できるからです。
地図製作では、測量する地域を三角形の網で覆い、地点間の距離や角度を測ります。計測機器の技術革新により、明示的な三角測量は使われなくなりましたが、衛星データから位置を割り出す手法には今もこの考え方が生きています。そして、ピタゴラスの定理を一般化したものによって、宇宙の形を測ることさえ可能になりました。地球は球体ですが、宇宙はどんな形なのでしょう？ 外に出て眺めることはできませんから、一見不可能な問いに思えます。
しかし、一般化されたピタゴラスの定理のおかげで、別のアプローチが可能です。ピタゴラスの定理は「平らな」平面上の三角形に適用されますが、一般化された定理は「曲がった」空間の三角形にも適用できるのです。例えば、球面の上に三角形を描けば、私たちの惑星を測定できます。さらに、この一般化によって空間が「どれだけ」曲がっているかも知ることができます。つまり、宇宙空間のなかで三角形を測定すれば、その曲率を計算できるのです。
オイラーの多面体公式は数学の世界に革命をもたらし、DNAの理解にも役立つ
幾何学では、面が辺で結合された三次元の立体を多面体といいます（立方体などが代表例です）。多面体に関するオイラーの公式は、シンプルですが驚くべき主張です。面の数（F）、辺の数（E）、頂点の数（V）を数えると、F-E+V=2 が常に成り立つのです。この公式は、数学者に新たな幾何学「トポロジー（位相幾何学）」を生み出すきっかけを与えました。トポロジーでは、長さや角度といったおなじみの概念は登場せず、三角形、正方形、円を区別しません。
線は曲げたり伸ばしたりしてよく、切り離すことだけは許されません。2つの図形が与えられたとき、それらがトポロジー的に同じかどうか（つまり、曲げたり伸ばしたりして互いに変形できるか）を問うのは当然の数学的問いです。ところが、図形を見ただけでは驚くほど答えにくい問題です。ここでオイラーの公式が登場します。面、辺、頂点を数えるだけで図形を区別できるのです。
つまり、ある多面体が別の立体とトポロジー的に同じかどうか知りたければ、F-E+Vを計算して比べればよいのです。どちらも2なら同じ、そうでなければ異なります。この洞察は、幾何学的な形を探求する豊かな数学分野へと発展しました。トポロジーは生物学でも応用が広がっています。
DNAを構成する2本の鎖は、2つのらせん階段が絡み合うように複雑に結ばれています。細胞分裂の際にDNAを複製するなど、重要な生物学的プロセスは、この二重らせんの複雑な幾何学的構造を考慮しなければなりません。数学者と分子生物学者はトポロジーを使ってDNAのねじれや巻き付きを解析し、さまざまな生物学的プロセスが幾何構造にどう依存しているかを理解できるのです。
正規分布は社会、医療、科学データを分析する最も重要な道具のひとつ
19世紀に数学者たちは、偶然の出来事に統計的なパターンがあることに気づき始めました。特定のデータ値が観測される確率は、平均値付近で最も高く、平均から離れるにつれて急激に低下します。この現象を表す数式が「正規分布」で、曲線が釣り鐘の形に似ていることから「ベルカーブ」とも呼ばれます。
1835年、ベルギーの数学者で社会学者のアドルフ・ケトレーは、犯罪、出生、死亡、身長、体重などに関する大量のデータを収集しました。そして、人々の割合をこれらの社会的変数ごとにプロットすると、美しい釣り鐘曲線が現れるパターンを見出したのです。これは驚くべき発見でした。社会的変数は人間の選択を原因とし、あまりに複雑なため数学的法則に従うとは誰も予想していなかったからです。この現象は、集団としての人間の振る舞いが、個人よりも予測しやすいことを示していました。今日、正規分布は仮説検定の日常的な手法として、新薬の臨床試験などで広く使われています。
たとえば、装置のわずかなばらつきや人為的ミスで誤差を含みうる観測データから、新しい薬が古い薬より2倍効果的だと示唆されたとします。ここで、正規分布の際立った特徴「観測データの誤差の確率が正規分布に従う」ことを利用して、データの信頼性を検証できます。具体的には、「新薬が2倍効果的である」という仮説と「この結果が偶然生じた」という仮説を検定し、後者の確率（ベルカーブで与えられる）が低ければ、研究は信頼できるとみなされます。
ナビエ・ストークス方程式は無数の科学・技術的問題の解決策を与える
地球は水の惑星です。表面は海や川や湖で覆われ、それらは「流れ」を生み出します。そして、水の示すパターンは、流れを予測しようとした数学者たちの関心を集めました。流れの予測は、19世紀前半にナビエ・ストークス方程式が登場したことで可能になりました。この「流れの方程式」は、おびただしい可能性の扉を開きました。ナビエ・ストークス方程式は、現代の交通機関を一変させました。
最も明白な恩恵を受けたのは船ですが、飛行機や車もこの方程式の恩恵に浴しています。飛行にとって決定的な流体は空気であり、車は空気力学の原理に基づいて設計されているからです。たとえば燃料消費を抑えるために空気抵抗を最小化する際、ナビエ・ストークス方程式は非常に正確なので、風洞で物理的な実験をする代わりに、この方程式に基づくコンピューターシミュレーションがよく使われます。現在、地上には数百万台もの車、船、航空機があり、それらすべてが流体中を確実に移動することに依存しているのですから、ナビエ・ストークス方程式は現代の交通を根底から変えたと言えます。この方程式は医療研究でも広く用いられています。
人体内の血流を計算することで、冠動脈バイパス手術のように、術中の血流制御が求められる外科手術に役立ちます。気候モデルにも応用されています。気候の2つの重要な要素である大気と海洋は、いずれも流体だからです。この方程式を使えば、気候変動の研究も行えます。
ニュートンの万有引力の法則は太陽系と宇宙ミッションの軌道予測を可能にする
伝説によれば、ニュートンはある日、芝生に座っているとリンゴが木から落ちて頭にぶつかり、万有引力の法則を思いついたとされています。この話が本当かどうかはともかく、リンゴはニュートンにとって重要でした。なぜなら、同じ力の法則でリンゴの運動も月の運動も説明できると気づいたからです。ニュートンの法則は、太陽系の運動を正確に予測します。彼の万有引力の法則は、2つの物体の質量と距離から、両者の間に働く引力の大きさを決定します。
そして、ニュートンの法則の最も重要な点は、引力が普遍的に働くという主張です。つまり「宇宙のどこにあるどんな2つの物体も互いに引き合う」のです。この考え方により、太陽と地球の影響下にある月の動きなど、太陽系の未来の動きを極めて高い精度で予測できるようになりました。ニュートンの万有引力の法則は、宇宙ミッションの軌道設計にも日常的に使われています。今日、NASAやESAなどの宇宙機関は、いまだにこの法則を使って宇宙船の軌道を計算しています。すべては「地球から月（あるいは惑星）へ、最も効率的な経路はどれか」という単純な問いから始まりました。1960年代から70年代のアポロ計画では、地球と月が宇宙船に及ぼす力をニュートンの法則で計算することで経路が導き出されました。
そして、人工衛星の軌道計算もこの法則によって可能になるため、衛星通信、テレビ、GPS（全地球測位システム）、火星探査車、惑星間探査機といったものが実現しました。なお、次のセクションでは、やがてニュートン力学を凌駕することになるアインシュタインの相対性理論を見ますが、実用上のほとんどすべての目的では、より単純なニュートン力学がいまだに主流であり続けています。
アインシュタインの相対性理論は空間と時間の見方を変え、私たちの日常も変えた
アインシュタインの相対性理論は、宇宙の起源と構造についてこれまでで最も優れた理解をもたらしました。また、まったく新しい物理学の根源にもなっています。ニュートンの時代には、時間は空間から独立しており、動いたからといって物体の質量や大きさが変化することはありませんでした。アインシュタインが相対性理論を導入すると、これらの前提は誤りであることが判明します。
さらに、古典力学ではあらゆる物理学者が「何に対する速さか？」と問う習慣がありましたが、光速はどんな物理量に対しても相対的でない「定数」だとわかったのです。そして最終的にアインシュタインは、重力を「力」ではなく「時空の曲がり」として表す、まったく新しい重力の概念を打ち立てました。時空とは、空間の3次元と時間の1次元からなる4次元モデルです。相対性理論に基づく最も劇的な予測は、ブラックホール（巨大な星が自らの重力で崩壊して生まれる）や、ビッグバンで説明される膨張宇宙など、壮大なスケールで現れます。私たちの日常生活では、相対性理論から派生した相対論的効果の恩恵を受けています。たとえば、車の衛星ナビゲーションシステムがそうです。
このシステムは、GPSと呼ばれる周回衛星のネットワークから送られる、非常に正確なタイミング信号に基づいて車の位置を計算します。相対性理論によれば、衛星上の時計は地上の時計に比べて1日あたり7マイクロ秒（100万分の1秒）遅れると予測されます。
同時に、地球の重力によって1日あたり45マイクロ秒進むとも予測されます。これら相対論的効果を考慮せず、古典物理だけでGPSを運用したら、すぐに使い物にならなくなるでしょう。古典物理のGPSを10分使うだけで間違った通りに案内され、明日には間違った町に、1年以内には間違った惑星に連れて行かれてしまうのです。
シュレーディンガー方程式は物質の概念を変え、現代の電子機器に不可欠である
シュレーディンガー方程式は、原子や素粒子スケールの現象を扱う物理学の分野「量子論」における主張です。量子の世界は悪名高いほど奇妙です。どれほど奇妙かといえば、光が粒子でもあり波でもあるような世界です。それは私たちの快適な日常スケールの世界とはかけ離れており、最も単純な概念でさえ見違えるほど変わります。
そして、シュレーディンガー方程式は極微のスケールでの物理学を根本的に改訂することになりました。19世紀、物理学者たちは、光がある実験では波のように振る舞い、別の実験では粒子のように振る舞うことを発見しました。宇宙の極微スケールに取り組むうちに、物理学者たちは、光だけがこの奇妙な二重性（あるときは粒子、あるときは波）を持つわけではなく、すべての物質がそうだと考えるに至ったのです。シュレーディンガー方程式は、物質を粒子ではなく波としてモデル化し、その波がどう伝播するかを記述します。この方程式のおかげで、波動と粒子の二重性を説明できる理論、量子論を構築できました。量子論は極微スケールの物理学を根本的に改訂したもので、物体は同時に2つの異なる状態にありえ、あらゆる物体は「波動関数」という、可能な状態（波か粒子か）の確率を記述するものを持つとされます。
しかし量子論は実験室に閉じこもってはいません。現代の電子機器は量子論に依存しています。現代のメモリチップは、電気伝導性をもつ結晶材料である半導体でできています。結晶中を電子がどう動くかを解析するには量子論の知識が不可欠であり、半導体技術は量子論に基づいているのです。コンピューター、携帯電話、CDプレーヤー、車、冷蔵庫など、事実上すべての現代の家庭用機器にはメモリチップが搭載されており、したがってこの量子の知識に依存しています。アインシュタインの相対性理論と並び、量子論は今日、物理宇宙に関する最も有効な理論となっています。
カオス理論は科学のほとんどの分野に浸透し、その理解は日常生活にも役立つ
カオス理論は、数学のちょっとした好奇心から、科学の基本的な特徴へと成長しました。それは、単純な理論であっても「決定論的カオス」、つまりランダムな原因なしにランダムな振る舞いを生み出しうることを示します。フードプロセッサーを思い浮かべてください。刃はとても単純なルールに従っています。ただ高速で回転するだけです。
ところが、食材が刃と相互作用すると結果はカオス的で、食材は刃と一緒に回るのではなく、かき混ぜられます。同様の効果が多くの自然現象のモデルでも起こりえます。生物学には、動物の個体数の単純なモデルがあり、ある世代の個体数が前の世代の個体数によって決まります。理論上、第0世代の個体数が、以降の全世代の個体数を完全に決定するはずです。しかし現実には、初期状態の「正確な」データが得られることはほとんどありません。わずかな不確実性が指数関数的に増大し、個体数はあっという間に予測不可能になります。これがカオスが発生した状態です。
カオスは日常生活に影響を与える応用分野を持っています。主な影響は科学的思考に現れました。たとえば上記の例が示すように、「決定論的」だからといって「予測可能」とは限らないのです。この洞察には実用的な応用があります。代表的な例を挙げると、カオス理論は天気予報のやり方を変えました。天気は決定論的ですが予測は難しく、その複雑さゆえに単独の気象モデルは容易にカオスを生み出します。そこで、一つの予測を精緻化するために計算資源をすべて投じるのではなく、気象学者は今や多数の予測を走らせ、それらの予測がすべて一致すれば、その予報は正確である可能性が高いと考えます。カオス理論のその他の応用としては、医薬品の錠剤製造や食品の原材料を混ぜる際に広く使われる混合プロセスの理解向上などがあります。
ブラック＝ショールズ方程式は金融セクターの巨大な成長と金融危機のリスクをもたらした
「デリバティブ（金融派生商品）」として知られる金融商品は、金融セクターの最大の成長源です。デリバティブはお金そのものではなく、投資への投資、約束についての約束であり、世界の銀行システムの基盤となっています。「ブラック＝ショールズ方程式」は、デリバティブ取引を合理的なものにし、金融セクターの成長を促進しました。代表的なデリバティブに「オプション」があります。これは、買い手が一定の「満期」期間内に、あらかじめ合意した価格で商品を買うか売る権利を購入する契約です。
たとえば、ある商人が12か月後にトン当たり500ドルで千トンの米を買う契約を結んだとします。5か月後、彼女はこのオプションを売却することに決めました。その間、市場価格がどう動いてきたかを踏まえて、この契約は現在いくらの価値があるでしょうか？ 答えがわからないままそんなオプションを取引すれば、大変なことになります。価格を間違えれば、損失を出すからです。そこで、満期まで（契約が終了するまで）の任意の時点でオプションの価格を決める方法が必要となります。ブラック＝ショールズ方程式はまさにそれを提供します。通常の市場条件下で合理的なオプションの価値を計算する手段を与えてくれるのです。
こうして誰もが金融セクターに参入できるようになりました！ しかし、ブラック＝ショールズ方程式は「公式による取引」のリスクも生みました。この方程式は通常の市場条件下では有効に機能しますが、世界の金融セクターはますます複雑なデリバティブを生み出し始め、それらは時に実物資産ではなくデリバティブそのものに基づくものでした。複雑なデリバティブ取引は、数式が市場を正確に描写できるという信念にいまだ依存していますが、証拠はまったく逆の方向を示しています。先物トレーダーの75～90パーセントが、毎年損失を出しているのです。公式の背後にある都合の良い前提に従わない世界で、公式に頼って取引する危険性こそが、2008～09年の金融危機の引き金でした。
この本の核心
数学の方程式は、今日の世界を創り上げるうえで決定的な役割を果たしてきた。
総まとめ
地図作成、衛星ナビ、テレビ、民間航空機、木星の衛星探査…そのどれもが、方程式の助けなしには不可能だったでしょう。
実践的なアドバイス：三角形を意識しよう。 次に家を改装するときは、ピタゴラスの定理を思い出してください。新しい床材が何平方メートル必要か、浴室のタイルをどう切るか、壁に何リットルのペンキを買うべきか、といった計算に役立つ道具になります。
「うますぎる話」にはまず疑いを。 次に株を取引しようと思ったら、優れた数式でさえ市場の複雑さを完全には表せないことを心に留めてください。大金を失いたくなければ、健全な用心と懐疑心が役に立ちます。
