シェイプ（2021）は、数学に永遠に別れを告げた――またはそう思い込んでいる――人々に捧げる、幾何学へのラブレターです。親しみやすく魅力的な本書は、幾何学が物理的な世界の物体だけでなく、ゲーム、パンデミック、人工知能、さらにはアメリカの民主主義に至るまで、あらゆるものを支えていることを示します。幾何学を理解すれば、ほとんどすべてのことをもう少し深く理解できるのです。
この要約で学べること：あらゆるものを支える幾何学の魅力的な探求
「幾何学」という言葉を聞いて、多くの人は高校の数学の授業での苦痛で退屈な時間を思い出すかもしれません。しかし、幾何学は三角形の斜辺を計算したり、一行一行証明を書いたりするだけのものではありません。たとえば、アメリカのエイブラハム・リンカーン大統領は、その名高い修辞的スキルを幾何学のおかげだと考えていたのをご存知ですか？リンカーンは幾何学を学ぶことで、慎重な演繹的推論に基づいて論理を組み立てる方法を身につけたのです。
それはほんの氷山の一角にすぎません。幾何学は至る所に潜んでいます。チェッカーやチェスのようなゲームにも、蚊の飛行経路を決定する幾何学もあります。さらに、アメリカの民主主義を支える幾何学さえ存在するのです！この要約では、これらすべて、そしてそれ以上を取り上げます。この要約を読むと、以下のことがわかります。
- ストローに穴はいくつあるのか
- 蚊が生まれた場所と同じ場所で死んでしまう可能性が高い理由
- ロシア文学がどのようにしてパーセンテージに集約できるのか
距離の概念があるところには、幾何学が存在する
ギリシャ語では「幾何学」は「地球を測ること」を意味します。何かの幾何学を調べるとき、私たちはまさにそれを行っているのです――とはいえ、必ずしも文字通りではありません。土地の区画、人々の集まり、馬のチーム――それぞれに幾何学を与えることができます。私たちがすべきことは、計量、つまり任意の2点間の距離を表すための数値を定義することだけです。
どの計量を選ぶかによって、異なる幾何学が生まれます。たとえば、地図上の2点を「直線距離」という計量で見ることができます。その場合、距離はそれらの点を結ぶ直線の長さです。あるいは、米国の全都市のアルファベット順リストにおける2地点間の距離を計量とすることもできます。この計量では、ロサンゼルスはサンフランシスコよりもニューヨークに近くなります。ここでの核心は、距離の概念があるところには必ず幾何学が存在するということです。幾何学があるのは場所だけではありません。
人にもまた幾何学があります――たとえば俳優です。俳優の幾何学を研究するには、彼らがどれだけ「離れている」かを測る計量が必要です。実際、これにはすでに共演距離という計量が存在します。2人の俳優が同じ映画に出演すると、1つのリンクが形成されます。任意の2人の俳優間の距離は、それらを結ぶリンクの最小数です。たとえば、ジョージ・リーヴスとキアヌ・リーヴスの距離は2です。どういうことか？ジョージは『地上より永遠に』でジャック・ウォーデンと共演し、ウォーデンは『リプレイスメント』でキアヌと共演しているからです。では、トランプ一組の幾何学はどうでしょう？これは映画スターの幾何学とよく似ていますが、ずっと大規模です。「点」は標準的な52枚のカードの並べ方すべて――これは巨大な67桁の数字で、52!（52の階乗）と表されます。
これでカードのデッキにおける点が定義されました。次に、それらの点間の距離を考える方法が必要です。ここでシャッフル、特にリフルシャッフルが登場します。リフルシャッフルとは、デッキを任意のサイズの2つの山に分けてから再び組み合わせることです。1回のリフルシャッフルで別の特定の並びに到達できる場合、それらの2つの並びはリンクしています。その距離は、ある並びから別の並びに到達するまでに必要なリフルシャッフルの回数です。都市、俳優、カードのデッキ――他にどんなものに幾何学があると思いますか？
幾何学は直感から出発し、それを論理で修正することを求める
インターネットを少しでも利用したことがあるなら、「ストローには穴がいくつあるか」という議論に出くわしたことがあるかもしれません。おそらく、直感的に答えを出そうとしているでしょう。ストローに穴は2つあるのは明らかです――見ればわかります！でも待ってください――一方の穴はどこから始まり、もう一方はどこで終わるのでしょう？そう考えると、ストローには貫通した1つの穴しかないのかもしれません。それとも、ストローは長方形を丸めただけで、長方形に穴はないので穴はゼロなのでしょうか？幾何学は、見かけ上のパラドックスを解きほぐしながら、この疑問に対する答えを見つけるのに役立ちます。そのためには、私たちの直感を分析し、それらをいじって、可能な答えの中で最善のものを見つける必要があります。ここでの核心は、幾何学は直感から始め、それを論理によって修正することを求めるということです。では、ストローには実際に穴はいくつあるのでしょうか？
そうですね、それは「穴」という言葉で何を意味するかによります。絶対的な正解というものは存在しません。しかし、幾何学は他よりも優れた答えを導き出すことを可能にします。トポロジー（位相幾何学）として知られる幾何学の分野によると、ストローには1つの穴があります。その理由はこうです。ストローをどんどん短くして平らなプラスチックの帯にすると、アニュラス（円環領域）と呼ばれる形、すなわち2つの円で囲まれた領域が得られます。その形には明らかに1つの穴があります。したがって、ストローには1つの穴があるのです。
同じ原理をズボンにも適用できます。ズボンには穴がいくつあるでしょうか？ズボンをぐっと短くすると、幾何学者がダブルアニュラス（二重円環）と呼ぶTバックのようなものになります。それを平らに押すと、穴が2つあるのがわかります。したがって、ズボンには2つの穴があります。より難しい問題は、膨らませた風船には穴がいくつあるかです。直感的な答えはゼロでしょう。
しかし、風船に穴を開けると空気が抜けて、穴のないゴムの円盤が残ります。でも、穴を開けたのに、なぜまだ穴がゼロなのでしょうか？ここで、パラドックスを解くために直感に反することを行う必要があります。膨らんだ風船に穴を開けると穴がゼロになるなら、最初からマイナス1個の穴があったに違いありません。奇妙に感じるかもしれませんが、それがポイントなのです！数学では、完全に正しいままでありながら奇妙に感じることがある、ということをよく受け入れる必要があります。
ランダムウォークの原理は、空間内の移動経路を理解するのに役立つ
5つの同心円の図を想像してください。蚊が一番外側の輪で生まれました。その蚊が一生を終えたときに、死骸が図のどこか別の場所で見つかる確率はいくらでしょうか？これが、ロナルド・ロス卿が20世紀初頭に答えようとした問いです。
ロスによる蚊の飛行経路の研究は、最終的に物理学から金融、さらには詩に至るまで、あらゆる分野に浸透する幾何学的理論を生み出しました。その理論はランダムウォークと呼ばれます。核心は、ランダムウォークの原理が空間内の経路を理解するのに役立つということです。ランダムウォークを理解するために、蚊が一直線上しか移動できない単純なケースを見てみましょう。ある蚊が10日間生きるとします。毎日、北東か南西のどちらかに1キロメートル飛ぶことを選択します。
毎日2つの異なる選択肢があるので、可能なライフパスの総数は1,024通りです。蚊が生まれた場所から10キロメートル北東の地点で死ぬためには、10回連続で北東を選ぶ必要があり、それは1,024匹のうち1匹だけです。一方、蚊が生まれた場所と同じ場所で死ぬ経路は252通りあります。これは蚊が北東を5回、南西を5回選ぶことに相当します――コインを10回投げた場合に期待される結果に似ています。コイン投げの回数が増えるほど、表か裏が出る回数は50％に落ち着きます。
同様に、蚊が飛行方向を選ばなければならない回数が増えれば増えるほど、その虫は結局スタート地点に戻る可能性が高くなります。同じ原理が株式市場にも当てはまります。フランスの数学者ルイ・バシュリエは論文の中で、ストックオプション（将来の特定の日に、あらかじめ決められた価格で債券を購入できる権利を与える契約）の適正価格を計算しようとしました。オプションは、債券の市場価格がオプション購入時の価格を上回った場合にのみ価値が生まれます。
トレーダーの目標は、その起こる可能性を予測しようとすることです。バシュリエは債券の価格を空間におけるランダムウォークとして扱いました。彼は、蚊と同様に、債券の価格はスタート地点とまったく同じ価格に落ち着く可能性が最も高いことを発見しました。言い換えれば、トレーダーは利益を得るよりも、まったく儲からない可能性が高いのです！
マルコフ連鎖はあらゆる種類の空間に存在する
蚊について考えていた20世紀初頭の数学者はロナルド・ロス卿だけではありません。地球の反対側では、アンドレイ・マルコフというロシア人が同じことをしていました。マルコフが考えていたのは、すべての決定がランダムな蚊ではなく、その日の飛行方向が前日の決定に依存する蚊でした。これに関するマルコフの理論は、現在マルコフ連鎖として知られています。そしてそれは、蚊がいる湿地のような文字通りの空間であれ、言語で表現できるすべてのことの空間のような抽象的な空間であれ、空間を進むことについて話すときはいつでも登場します。ここでの核心は、マルコフ連鎖はあらゆる種類の異なる空間に存在するということです。マルコフ連鎖は次のように機能します。蚊が飛べる場所が沼0と沼1の2つしかないとします。蚊がいる沼で十分な血を吸えるなら、そこに留まることを好みます。
蚊が沼0からスタートし、そこに留まる確率が90％、沼1に移動する確率が10％だとします。沼1では、おそらく血が少し少ないため、蚊は80％の確率で留まり、20％の確率で沼0に戻ります。時間の経過に伴う蚊の動きを追跡すると、どちらかの沼での長い連続滞在のシーケンスが得られます。例えば、沼0に4回、続けて沼1に9回、そして沼0に13回といった具合です。これらの数字の平均を取ると、蚊が生涯のうち沼1で過ごす割合が事実上計算され、その数値は常に3分の1という固定確率に落ち着きます。蚊はランダムで独立した選択をしているわけではありません。
むしろ、どの沼に住むかの決定は、今日いる沼と高い相関があります。なぜなら、同じ場所に留まりたいからです。その決定、つまり変数はリンクしています。よく見るほど、マルコフ連鎖はあらゆる場所に見られる可能性が高まります――たとえば言語です。言語は子音と母音の連続から成りますが、すべての連続が同じ確率で起こるわけではありません。アレクサンドル・プーシキンの韻文小説『エウゲニー・オネーギン』を分析したマルコフは、母音の後に母音が続く確率がわずか12.8％であることを発見しました。一方、セルゲイ・アクサコフの小説『孫バグローフの幼年時代』では、母音の後に母音が続く確率は55.2％です！これら2つのテキストの背後には、まったく異なる2つのマルコフ連鎖が存在します――理論的には、両者を区別するために使用できる異なる統計的特徴です。
パンデミックは幾何級数的に広がるが、それにはいくつかの複雑な要素がある
ロナルド・ロス卿の話に戻りましょう。ロスは蚊が生まれた場所から特定の距離で最期を迎える確率を記述しようとした人物でした。私たちは話の一部を省いていました。なぜなら、実際にはロスの目標ははるかに先にあったからです。最終的に彼は病気そのものを定量化し、さらに宗教から軍隊への入隊に至るまで、ありとあらゆるものの広がりを定量化しようとしていました。その取り組みの中で、彼は数学者ヒルダ・ハドソンと共に、パンデミックが幾何級数（指数関数的成長とも呼ばれる）と呼ばれる数列で広がることを突き止めました。ここでの核心は、パンデミックは幾何級数的に広がるが、それにはいくつかの複雑な要素が加わるということです。幾何級数を理解するには、その仲間である算術級数と対比させるのが簡単です。算術級数では、項の差――たとえば60、120、180――は一定に保たれます。対照的に、幾何級数（1、3、9など）では、項間の差は同じではありません。それは、幾何級数の速度が固有値と呼ばれる、ある種の比率である複雑な数によって支配されているからです。
固有値により、幾何級数はゆっくりとした成長期間の後に指数関数的な爆発が起こるように見えます。これはCOVID-19のパンデミック中に見られました。2020年3月9日までに米国での死者数は合計22人でした。その1週間後には、アメリカ人は1日あたり22人の割合で死亡していました。さらに1週間後には、その割合はほぼ10倍に増加しました。これに基づけば、7月初旬には1日あたり1700万人の新規感染者が出るだろうと予想したかもしれません。しかし、そのペースでは感染率はすぐにアメリカ人の総数を超えてしまうでしょう。
実際に何が起こったのでしょうか？ウイルスは感染させる新しい人々がいなくなり始めたのです。幾何級数だけではパンデミックの全体像を語ることはできません。なぜならR0（アールノート）と呼ばれる変数があるからです。R0は1人の感染者から生じる新規感染者の数を表します。R0が1より大きければ、パンデミックはまだ拡大しています。1未満であれば、パンデミックは指数関数的減衰を起こし、ウイルスが十分な数の新しい人に感染していないために衰退していきます。他のあらゆる種類の伝染も、同じルールに従って広がります。
噂話を考えてみましょう。噂は誰かがそれに触れることで広がります。その人が噂を「キャッチ」してしまえば、再びその噂を聞いても新たな拡散ラウンドを引き起こすことはありません。あらゆる噂は、あらゆるパンデミックと同じように、それが実際にどれほど感染力が強いかを示す独自のR0を持っているかもしれません。
ゲームには、場合によって結果を予測できる幾何学がある
チェッカー、コネクトフォー、チェスのようなゲームに共通するものは何でしょうか？幾何学的に言えば、それらはすべて木とみなされます。ゲームが木とみなされるのは、いくつかのパラメータを満たす場合です。それらは、2人のプレイヤーが交互に手を進めること、結果が偶然によって決まらないこと（コイン投げ、スピナー、カード引きがないこと）、そしてすべてのゲームが有限の手数で終了することです。これらのゲームでは、次の3つのうち1つが真となります。先手に常に勝利を保証する戦略がある、後手に常に勝利を保証する戦略がある、または完全にプレイされたすべてのゲームは引き分けに終わるというものです。核心は、ゲームには、場合によってはその結果を予測できる幾何学が存在するということです。これがどのように機能するか、ニムという単純なゲームを見てみましょう。ニムでは、2人のプレイヤーが石の山を前に座ります。山の数や石の数は問いません。その後、プレイヤーは交互に石を取り除きます。プレイヤーは好きなだけ石を取ることができますが、一度に取れるのは1つの山からだけです。最後の石を取ったプレイヤーが勝者です。それぞれ2つの石がある2つの山でニムを想像してください。先手――アクバルと呼びましょう――が始めます。彼の選択肢の1つは、山全体を取ることです。しかしそうすると後手のジェフがもう一方の山を取って勝ってしまいます。では、アクバルが代わりに1つの石を取ったらどうでしょう？
残念ながら、ジェフは依然として彼を打ち負かします。ジェフはもう一方の山から石を1つ取り、アクバーに1つの石を残し、最後の石を自分のものにできるからです。悲しい真実は、このニムの配置全体がアクバーにとって負けであるということです。これは、ゲームの木の図を描くことで確実に証明できます。ゲームの開始位置が根を形成し、そこから続く可能性のある位置は枝と呼ばれます。すべての枝の末端から始めて、それぞれの位置をW（勝ち）、L（負け）、または引き分けが許されるゲームではD（引き分け）とラベル付けできます。そこから、アクバーの選択肢のどれも彼をWに導かず、ゲームの根がLであることがわかります。木であるすべてのゲームは、同様の方法でマークできます。ちなみに興味があれば、チェッカーの根は引き分けです。
機械は勾配降下法を使って、間違いを減らす方法を学習する
高い山頂に到達しようとしている登山家になったつもりで想像してみてください。途中で地図をなくしてしまいました。さて、どうやって頂上にたどり着くのでしょう？1つの方法は、足元を見て斜面を評価することです。北に一歩踏み出すと、勾配が少し上向きになるのが分かります。南に少しずつ進むと、勾配は下がります。次に、北東に向きを変えてみると、勾配が突然大きく上がりました。最も急な上り斜面の方向を特定したら、北東に数歩歩き、そしてそのプロセスを頂上に着くまで何度も繰り返します。この方法は勾配降下法と呼ばれ、それが実際に機械学習の仕組みを説明しているのです！ここでの核心は、機械は勾配降下法を使って、間違いを減らす方法を学習するということです。
では、勾配降下法は機械学習でどのように機能するのでしょうか？例えば、コンピューターに猫とは何かを教えようとしているとしましょう。そのために、猫の画像1,000枚に「猫」とラベルを付け、猫でない画像にもラベルを付けて与えます。機械の目標は、できるだけ頻繁に正解できる戦略を開発することです。コンピューターにとって戦略とは、画面上のピクセルのグリッドを表す数字のリストを受け取り、1か0を出力する方法のことです。コンピューターの用語では、1は「猫」、0は「猫でない」を意味します。コンピューターの戦略として、すべての数値の平均を出力するというものがあります。これなら、真っ白な画像なら1、真っ黒な画像なら0を出力します。この戦略は画像全体の平均的な明るさを測定するだけなので、猫を識別するのには明らかに適していません。これは、膨大な可能性の「戦略空間」における1つの戦略にすぎません。では、特定の戦略の成功をどう測定すればよいのでしょうか？「誤りスコア」を使います。スコアは0から1の間です。
コンピューターが猫の画像を見て、戦略が1を出力すれば、誤りスコアは0、つまり答えが正しかったことを意味します。コンピューターにすでに見せた2,000枚の画像を見せ、すべての誤りスコアを合計すると、総誤り度が得られます。コンピューターは勾配降下法を使って、総誤り度が最小になる戦略に到達するまで戦略を微調整し続けます。
政治家は政治的利益のために数学を悪用してきた
2018年11月、米国ウィスコンシン州の民主党員は祝っていました。彼らの州知事候補が共和党の現職を破り、司法長官と州財務官のポストを奪取し、民主党の上院議員が再選を果たしたのです。しかし、全面的な勝利とは言えませんでした。ウィスコンシン州議会下院（州議会の下院）ではわずか1議席しか増やせず、共和党が63対36の多数派を維持することを許しました。一方、共和党は州上院で実際に1議席を増やしました。何が起こったのでしょうか？ウィスコンシン州全体が民主党に投票したのに、なぜ共和党は下院選挙区でこれほどうまくやれたのでしょうか？お察しの通り、答えは数学です。ここでの核心は、政治家は政治的利益のために数学を悪用してきたということです。
ウィスコンシン州の下院選挙区が圧倒的に共和党寄りだったのには単純な理由があります。共和党がそのように設計したからです。2011年、共和党はウィスコンシン州議会の両院と州知事職を掌握していました。彼らが作成した地図が法制化されることは基本的に保証されていました。それがどれほど法外にゲリマンダー（選挙区の自党に有利な区割り操作）されていようと、つまり地図が彼らに政治的に利益をもたらすようにどれだけ設計されていようと、問題ではありませんでした。そこで彼らはゲリマンダーを行いました。高度なコンピューターソフトウェアを使用して、共和党は各選挙で自党の無駄票を大幅に減らすことのできる有利な選挙区割り地図を作成しました。ここでの「無駄票」とは、自党が負ける選挙区に投じられた票か、自党が勝利した選挙区で50％を超える分の票のことです。言い換えれば、自党が辛勝する選挙区を多く作り、残りの選挙区では大差で負けるようにするのが目標です。これにより、可能な限り多くの選挙区で勝利を得ることができます。明らかに、ゲリマンダーには公正さのかけらもありません。しかし、地図がゲリマンダーされていることをどう証明できるでしょうか？
1つの可能性は、特定の選挙における効率性ギャップを計算する方法です。それには、各政党が無駄にした票数の差を取り、それを総投票数に対するパーセンテージで表します。大きな効率性ギャップ――一部の法律家によれば7％を超えるもの――は、ゲリマンダーの可能性の兆候となり得ます。ただし、効率性ギャップは完璧な尺度ではなく、幾何学を用いてゲリマンダーが行われたことを証明する、より良い方法があるかもしれません。
コンピューター生成の地図はゲリマンダーの暴露に役立つ
ゲリマンダーされた選挙区地図はどのように見えるのでしょうか？時には、それはかなり明白です。例えば、ペンシルバニア州第7選挙区は、漫画のキャラクター、グーフィーがドナルドダックを蹴っているような歪んだ形に見えました。この選挙区は特定の地域の特定の有権者を獲得するためにあまりにも明白に引かれたため、裁判所は2018年にこれを無効としました。これは、ゲリマンダーへの解決策が単に選挙区の境界を規則的で見栄えの良い形に引くことを要求することだということでしょうか？残念ながら、そうではありません。現代の地図作成ソフトウェアを使えば、見栄えが良く、かつ政治的に歪められた選挙区を作成できるからです。代わりに、地図がゲリマンダーされている可能性がどの程度あるかを判断するために、幾何学を利用することができます。ここでの核心は、コンピューター生成の地図がゲリマンダーの暴露に役立つということです。
今日のコンピューターは、大量の選挙区割り地図を自動生成できます。さらに、それらは政治的偏りなくプログラムされており、法的に許容され、地域の連続性を保ち、郡、近隣、市の境界線に沿って選挙区を分割しない地図を生成できます。しかし、コンピューターに可能なすべての地図を調べさせ、最良のものを選択させるようにプログラムすることはできません。第一に、政治家は自らが作成することに既得権益を持っているため、コンピューター生成の地図を受け入れる可能性は低いでしょう。第二に、そのようなことは、すべての選挙区を分割する方法が天文学的な数に上るため、とにかく不可能です。代わりにできることは、アンサンブル、つまりランダムに生成された地図のセットを作成することです。そのプロセスだけでも、マルコフ連鎖、木、穴など、私たちの古い友人がいくつか登場する、多くの抽象的で高度な幾何学が必要です。実際のケースでは、デューク大学の教授グループがウィスコンシン州の19,184枚の地図のアンサンブルを作成しました。
それから、彼らは2012年ウィスコンシン州下院選挙の結果を調べ、共和党と民主党のすべての票を、新たにランダム生成された選挙区に割り当てました。それぞれの地図について、共和党が多数派を占める選挙区の数を数えました。最も頻繁に見られた結果は、共和党が55議席で勝利するというものでした。共和党が60対39の多数派で勝利した結果――2012年選挙の実際の結果――は極端な外れ値であり、したがって、ゲリマンダーのかなり確かな証拠でした。今のところ、アンサンブル手法はゲリマンダーをそのまま停止させることはできていません。しかし、ゲリマンダーについて話せば話すほど、より多くの人々がそれについて学び、それを終わらせる可能性が高まります。
最終的なまとめ
これらの要約の核心的なメッセージ：幾何学は、地図上の点から異なる順序に並べられたトランプのデッキまで、距離の概念を含むあらゆるものについて議論するときに登場します。それ以上に、幾何学はパンデミック、言語、選挙、ゲーム、ストローの穴の数など、さらに多くのことを理解するのにも役立ちます。幾何学について学ぶほど、私たちはより慎重な思考者になります――直感を取り入れ、それを頭の中で転回させ、最終的に質問に対する可能な限り最良の答えを導き出すことができる思考者です。
ご意見をお待ちしています！この要約についてのご感想をぜひお聞かせください。
