『エコノミスト 数字ガイド』（1991年）は、さまざまなビジネス環境で非常に役立つ数学的ツールを幅広く紹介しています。本書の要約では、リスクを数値化していかに簡単に管理できるか、そして意思決定を改善できるかがわかります。数学的概念は基礎レベルで解説されているため、事前の数学知識は不要です。
この本で得られるもの——あらゆるビジネス場面で数字を管理する方法
数字を扱う人のすべてが数学の学位を持っているわけではないのは明らかです。実際、多くの人は高校で教わった数学の概念を思い出すのにも苦労します。
そこで役立つのが『エコノミスト 数字ガイド』です。本書は、ビジネス環境における複雑な問題を解決するために役立つ、幅広い数学的ツールを紹介しています。
本要約では、予測の立て方、リスクや不確実性のある状況でデータを使って意思決定する方法、データから誤った結論を導かないための方法を説明します。
パーセンテージと四捨五入
基本的な数学的概念は、日常の多くの場面で非常に役立ちます。もちろんビジネスでも不可欠ですが、正しく応用することが重要です。
たとえばパーセンテージです。およそ金融上の成長や減少に関わるあらゆる問題に使えますが、よくある落とし穴に注意しましょう。
1,000ドルを投資し、現在の価値が1,700ドルになったとします。価値は相対的にどれだけ増えたでしょうか。
パーセンテージを使えば答えが出せます。まず現在の値から当初の値を引き（1,700ドル−1,000ドル＝700ドル）、その差を最初の値で割って100を掛けます。（700ドル ÷ 1,000ドル）× 100 ＝ 70パーセントです。
十分簡単に思えますが、典型的な間違いに注意してください。第一に、同じ率の増加と減少を続けて行っても元の金額には戻らず、むしろ損をします。つまり、1,000ドルが50パーセント増えると1,500ドルになりますが、1,500ドルが50パーセント減ると750ドルになります。
さらに、パーセンテージとパーセント変化はしばしば混同されます。たとえば成長率が10パーセントから20パーセントへ上がった場合、それは10パーセントポイント上昇したのであり、変化率は10パーセントではありません。成長率が2倍になったので、100パーセントの変化です。
四捨五入も実用的なツールですが、しばしば誤って使われます。日常の活動では数字を扱いやすくするために役立ちます。端数が4以下なら切り捨て、5以上なら切り上げます。
ただし、四捨五入は必ず計算が終わった後に行ってください。1.5と2.4はどちらも四捨五入すると2になります。しかし、1.5×1.5は2.25で、四捨五入すると2、一方2.4×2.4は5.76で、四捨五入すると6です。つまり「2×2」の正しい答えが2から6のどこかになり得るのです！
金利とインフレーション
投資を検討しているなら、将来お金の価値がどうなるかを計算したいと思うでしょう。その計算には2つの要素、金利とインフレーションを考慮する必要があります。
利子とは、お金を使うことに対して支払われる価格です。そのため投資機会を比較する際、金利の計算は非常に重要です。
たとえば、100ドルを年利6パーセントで5年間投資したとします。その投資による利息は次のように計算します。100ドル × 5 × 0.06 ＝ 30ドル
さて、ここからが少し複雑になります。これまで話してきた金利は単利と呼ばれます。これは当初の投資額に対してだけ利息がつくという意味です。しかしもう1つの種類、複利があります。複利では、元本に対してだけでなく、すでに得た利息に対しても利息がつきます。わかりにくいかもしれないので、例に戻りましょう。
先ほどと同じ金額、100ドルを年利6パーセントで5年間投資し、利息が毎年末に支払われるとします。1年目の終わりには106ドルになります。ここまでは理解しやすいでしょう。しかし翌年は、100ドルに対して6パーセントの利息がつくのではなく、106ドルに対してつきます。そのため2年後の金額は112ドルではなく112.36ドルになります。さらに翌年は112.36ドルに対して利息がつきます。このように複利によって、お金は指数関数的に増えていきます。
しかし投資を考える際にはインフレーションも考慮しなければなりません。インフレは利子の反対と考えることができます。利子は価値を加え、インフレは価値を減らします。言い換えれば、インフレはお金の購買力を目減りさせるのです。たとえばインフレ率が10パーセントなら、現在の10,000ドルの価値は5年後の16,105ドルの価値に相当します。そうです、インフレも複利で膨らむのです！
投資する際には、得られる利息とインフレ率の差を計算する必要があります。インフレ率が10パーセント、金利が6パーセントだとすると、差は次の式で計算します。1 −（1.10 ÷ 1.06）＝ −0.038、つまり年間−3.8パーセントです。
この情報を使えば、投資の実質価値を維持するためにいくら投資する必要があるかを計算できます。
データ分析
組み合わせると、関連する数字の集まりを非常に効果的に説明できる3つのツールを見ていきましょう。実践しやすくするために、ある不動産会社の1日あたりの販売件数を例に考えます。
まず、数字の集まりの平均、つまり「中心」を測る方法が必要です。平均を測る最も一般的な方法は、平均値を求めることです。これはすべての数値を合計し、その合計を数値の個数で割って求めます。
たとえば、その会社が3日間で1日あたりそれぞれ1軒、2軒、3軒を販売した場合、平均値は（1＋2＋3）÷3で計算し、1日あたり平均2件となります。
次に、平均の周囲へのばらつきを示す尺度が必要です。平均値は、数字が平均の周りにどれだけ広がっているかを示す指標と一緒に使うことで、はるかに意味が深まります。
標準偏差はまさにそれを示す優れた指標です。標準偏差を計算するには、まず平均値を求めます。次に、それぞれの数値から平均値を引いて2乗します。最後に、それらの2乗した差の平均を求め、平方根を取ります。
この例では標準偏差は1です。しかし、もし5や6だったなら、販売がまったくない期間と、多く売れる日があることを示唆します。
最後に、分布の形を示す尺度が必要です。
数字の集まりは、異なる形をとり得ます。つまり平均を中心に対称的に分布する場合（1、2、3）もあれば、一方に偏っている場合（1、2、3000。ちなみにこの平均は1001になります）もあります。
ランダムな数字の集まりで最も一般的な形は正規分布で、平均を中心に対称的に分布します。
この3つのツールがあれば、多様な販売予測を行うことができます。さらに、その予測を提示する方法があればもっと効果的です。次のセクションでその方法を見ていきます。
表とグラフ
レポートやプレゼンテーションでは、表とグラフがメッセージを伝えるうえで非常に役立ちます。元の情報をすべて示しつつ、データに秩序をもたらすことができます。
表には主に2つの機能があります。データを示すことと、データを解釈することです。
データを提示する表は、他の人が使うためのものです。そこでは「3つのルール」に従うべきです。第一に、四捨五入などによって不要な情報を除き、表を簡潔にすること。第二に、行や列の合計、平均などの要約数値を含めて、表を情報豊かにすること。第三に、表を重要性や規模に応じて縦の列で並べること。数字の並びは行を横に追うよりも、列を縦に追うほうが簡単です。
データの解釈を目的とする表には、パーセント変化、絶対変化、合計、平均などの追加情報が必要です。こうした情報によって、データ内の数字が互いにどう関係しているかを発見できます。
表とは異なり、グラフは目で素早く理解できる形でデータを要約できます。折れ線グラフ、棒グラフ、円グラフを使えば、傾向、割合、その他の関係が一目で明らかになります。
しかし、このように情報を視覚的にわかりやすくすることは、しばしば正確性の犠牲を伴います。実際、グラフにわずかな変更を加えることで、誤解を招く主張が示唆されることはよくあります。
たとえば、グラフ上の2点を結ぶ直線は、その間の曲がりくねった動きを隠してしまうことがあります。ある株価の推移を、毎月1日の値だけを取り出し、その点を直線で結んで描いたとしましょう。
そのようなグラフは年間を通じて安定した動きを示すかもしれませんが、個々の月に大きな価格変動があったことを隠す可能性があります。
予測
予測とは未来、特に将来の市場動向を予測することであり、ビジネスにおける優れた意思決定の基本的な要素です。
では、予測はどのように行うのでしょうか。主な3つのアプローチを見ていきましょう。
1つ目は主観的予測で、直感、経験、推測に基づきます。一見、主観的予測は本質的に信頼できないように思えるかもしれません。しかし、数値的な手法に基づいているからといって、予測が必ず正しいとは限らないことを覚えておきましょう。
そして、ある年にうまくいった予測手法が翌年もうまくいくとは限らないため、予測には常に経営者としての健全な主観的判断を加える必要があります。
2つ目は過去の傾向の外挿で、大まかに言えば過去の傾向を未来に延長することです。そのため当然、データの連続、つまり時系列を扱います。たとえば1日あたりのアイスクリーム売上高や、1か月あたりの自動車生産台数などです。予測のコツは、これらの時系列に含まれる傾向を明らかにし、未来へ延長することです。
3つ目は因果モデルです。このアプローチでは、確立された原因と結果の関係に基づいて予測を行います。
たとえば、ある企業は広告や価格に基づいて売上予測を立て、別の企業は平均所得、雇用、金利の変化を考慮して将来の売上を予測するかもしれません。
この種の予測に役立つ数学的ツールが回帰分析です。この方法を使えば、売上が税金からどう影響を受けるかなど、データ同士の関係を推計できます。
この関係を明らかにするには、まずデータの点をグラフにプロットします。売上高をx軸、税率をy軸にします。回帰分析によって、プロットした点に最もよく当てはまる線を見つけることができます。この最適適合線が、税金と売上高という2つのデータの関係を近似します。
もちろん、これら3つの方法のどれも、確実に未来を予測できるわけではありません。しかし優れた予測アプローチは、これらの手法を組み合わせて行うものです。
サンプリングと仮説検定
小麦の袋から種を一掴み取り出したとすると、その一掴みはサンプル（標本）、袋全体は母集団と考えることができます。
サンプルは、多くの分野、特にビジネスで統計情報を示すために使われます。正しい方法で取り組めば、サンプルを使った作業は非常に効果的です。
こう考えてみてください。かなりの期間にわたって一貫した方法でサンプルを取れば、長期的にはある程度の信頼度で代表的であるとみなせます。
あなたが会社を経営していて、過去10,000件の注文のうち顧客の平均注文額を知りたいとします。もちろん、10,000件すべての請求書を調べれば、100パーセント正しい数字にたどり着けます。一方、たった50件の請求書をサンプリングするだけで、99パーセントの確率で正しい数字を得ることもできます。しかし、なぜそれほど確信できるのでしょうか。
母集団の数字が正規分布していることがわかっており、平均と標準偏差が手元にあれば、あるサイズのサンプルが母集団と同じように振る舞う確率を計算できます。だからサンプリングは、幅広いビジネス場面で時間とお金を節約できるのです。
仮説検定も意思決定に厳密さを加えます。たとえば、あるベーカリーが「新しい生地のミックスは10人中少なくとも6人に好まれる」という仮説を証明できない限り、製造方法を変えないと決めたとします。そこで市場調査を依頼したところ、99パーセントの信頼度で、消費者の60パーセント以上が新しい生地を素晴らしいと考えていると示されました。
調査結果が不正確であるリスクは1パーセントあります。しかし、それほど小さな誤差なら許容できるため、パン職人たちは新しい生地を導入します。このように仮説検定は、不完全な情報に基づいて誤った意思決定をするリスクを最小化する手続きなのです。
意思決定
多くのビジネス場面には不確実性やリスクが伴います。意思決定もそれに応じて行う必要がありますが、具体的にはどうすればよいのでしょうか。
例を考えてみましょう。キングバーガーズは新しい店舗を開こうとしています。大きなレストランと小さなレストランのどちらを開くべきでしょうか。キング家の経験によれば、大きな店舗は人気が出れば50万ドルの利益を生みますが、人気が出なければ30万ドルの損失を被ります。
同様に、小さなドライブスルーは27万5千ドルの利益を生むか、8万ドルの損失を被る可能性があります。キング家が新しい市場で何が起きるかわからない場合、4つのアプローチがあります。
1つ目の意思決定手法は、可能な限り高い利益を選ぶことです。そこで、楽観的なキングは最大の利益を目指します。彼女は、人気が出れば50万ドルのリターンをもたらす大きなレストランを建てます。
2つ目の手法は、潜在的な損失が最も小さい選択肢を選ぶことです。この場合、何もしなければ潜在的利益はゼロですが、損失も生じません。そこで悲観的なキングは何もしません。
3つ目の手法は、平均で最も優れたリターンを選ぶことです。平均的なキングは、良い市場と悪い市場が同じ確率で起こると仮定するため、この手法を選びます。それぞれのレストランの平均リターンを計算します。まず大きい方から（50万ドル−30万ドル）÷2＝10万ドル、次に小さい方（27万5千ドル−8万ドル）÷2＝9万7,500ドル。平均リターンがわずかに高いため、彼女は大きなレストランを開くことにします。
最後の手法は、平均リターンに重み付けをすることです。ハーヴィッツ流のキング（思慮深い数学者にちなんで名付けられました）は、良い市場になる確率を30パーセント、悪い市場になる確率を70パーセントと見積もります。彼女は、潜在的な利益と損失にそれぞれの確率を掛け、潜在的な利益から潜在的な損失を差し引くことで、平均リターンに重み付けをします。すると、大きなレストランは（0.3×50万ドル）−（0.7×30万ドル）＝6万ドルの損失、小さなレストランは（0.3×27万5千ドル）−（0.7×8万ドル）＝2万6,500ドルの利益になります。2つのうち加重平均リターンが利益を生む唯一の選択肢であるため、彼女は小さなレストランを開くことにします。
まとめ
傾向の予測、データ分析、分析結果の効果的な提示は、数学的ツールの基本的な理解があればすべて可能になります。これらのスキルはシンプルでありながら強力です。それぞれを習得することで、自信を持って使いこなし、意思決定力を高められるようになります。
