『モデル思考』（2018年）は、モデルを使ってデータに語らせるためのガイドブックです。情報があふれる世界において、ノイズの下に隠れたパターンに待望の光を当て、私たち自身がそのパターンを見出す方法を示してくれます。
本書で学べること：モデルが世界を理解するのにどう役立つか
現代のテクノロジーのおかげで、私たちの消費習慣、食生活、好きな音楽、さらには恋愛の好みに至るまで、様々な事実や数字がかつてないスピードで収集・送信されています。
しかし、この生のデータは何の役に立つのでしょうか？そこからどうやって価値を生み出せばいいのでしょう？
簡潔に言えば、答えはモデルを使うことです。モデルには数式から図表まで様々な形がありますが、共通しているのは、データを理解可能にしてくれることです。モデルを使えば、不可解な現象を説明し、製品・イベント・制度を設計し、株式市場から感染症の拡大まで、多様なシステムの挙動を予測することもできます。
本稿では、複雑で時に直感に反する現象を理解するためにモデルがどのように指針となるかを解説し、私たちが世界を渡り歩き、より良い決断を下す手助けをします。
本稿で学べることは次の通りです：
- モデリングが行方不明機の発見にどう役立ったか
- 線形回帰とは正確には何か
- ピザを食べる楽しみがなぜ凹関数になるのか
モデルは説明・設計・予測を助ける
2009年6月、エールフランスAF447便が大西洋に墜落しました。数週間にわたる捜索は実を結ばず、1年後の2度目の捜索も失敗に終わった後、フランス当局は最終的に複雑なデータモデルを活用して機体の位置を特定する方針に切り替えました。海流データと高度なモデリングを用いて、機体が眠っていると予測される狭い海域を特定し、1週間以内に発見したのです。
ここでの重要なポイントは：モデルは説明・設計・予測を助ける、ということです。
エールフランスAF447便の位置特定の成功は、モデル活用の力を示しています。世界をシンプルな変数に置き換えることで、モデルは混乱を招く背景ノイズを減らし、現実世界の結果を左右する真に重要な要因を特定します。少し抽象的だと感じますか？それなら、ミサイルの軌道を説明する物理学のモデルや、生態系における種の分布を説明する生態学モデルを思い浮かべてください。これらはすべて、観測可能な事実に基づいて、物事がなぜそのように起こるのかを説明します。
しかし、それだけではありません。モデルは、既存のデータを分析・可視化するのにも有用ですが、物事がどうなり得るかを想像するのにも同じくらい役立ちます。社会政策、革新的な製品、マーケティングキャンペーンなど、あらゆる設計をモデルで可視化することで、実際に着手することなく結果を予測し思い描くことができます。モデルを使えば、選択の意味を検討し、発見に応じて設計を練り直すことも可能です。
デザインがどうなり得るかを想像することから、何が起こるかを考えるのはあと一歩です。モデルは未来の予測を助けてくれます。もちろん常に完璧とはいきません——天気予報に騙された経験のある人なら誰でも知っている通りです。しかし、後続のセクションで学ぶように、モデルは不確実な出来事の結果を予測するのをはるかに容易にしてくれます。
複数のモデルで精度が上がる
政治の世界では、世論調査は日常茶飯事です。世論調査は選挙戦の状況を可視化し、かつては誰が勝つかをほぼ確実に予測するものと見なされていました。しかし近年の選挙では、必ずしもそうとは限りません——大統領候補が圧勝すると予想されていた州で、当日になって敗北したり辛くも勝利したりするケースが出てきています。
理由については多くの説がありますが、一つの原因は間違いなく世論調査の作り手、つまり人間にあります。人間は完璧ではありません。ミスも犯します。そして同じことがモデルにも当てはまります。論理や数学に依拠していても、モデルは結局私たちが作ったもの——つまり、私たちと同じように間違える可能性があるのです。
では、モデルが提供する説明・予測・設計を改善するにはどうすればいいのでしょうか？より正確で鋭いものにするには何ができるでしょう？
ここでの重要なポイントは：複数のモデルを使うと精度が上がる、ということです。
大きな決断に直面していると想像してください。多くの人と同じように、親しい友人に何でも打ち明けるでしょう。多様な意見を聞くことで、重要な決断について、より良く、より合理的な判断を下したいと願うものです。
モデルにも同じアプローチが有効です。友人に話して様々な角度からジレンマを見る方が良いのと同様に、単一のアプローチに頼るのではなく、複数のモデルを参照するのが通常は賢明です。
実はこの考え方を裏付けるコンドルセの陪審定理という定理があります。法廷の陪審員を例に考えてみましょう。各陪審員が半々より高い確率で正しい判断を下すとします。数学的には、集団の陪審員は、どの個人よりも正しい決定を下す可能性が高いということになります。各陪審員が正しい確率を合算していくと、多数決の評決が誤る確率はどんどん小さくなっていきます。
これはモデリングにも当てはまります。各モデルが半々より高い精度を持つなら、モデルを追加するほど全体の精度は向上します。問題は、多様なモデルを多数使うのは言うほど簡単ではないことです。例えば、大統領選で州の投票結果を予測しようとするとき、市民を所得水準で分類するモデルと、教育水準で分類するモデルを構築するとします。ここでの落とし穴は、一見異なるこれらのカテゴリーがしばしば重複すること——つまり、モデルの「多様性」が私たちが望むほど多様でなくなる可能性があるのです。
正規分布は多くの基本モデルの基礎となる
多くの教師は、Cを取る生徒はかなり一般的だと言うでしょう。直感的にも、それはもっともに思えます——Cは定義上、かなり平均的な成績だからです。しかしなぜでしょうか？なぜ私たちはCを平均的な成績と考えるのでしょう？答えはシンプルです：成績は正規分布に従う傾向があるからです。
ここでいう分布とは、出来事や値に確率を割り当てるものです。正規分布とは、中心にある一つの平均値の周りに対称的に集まる値の広がりです。「ベル曲線」とも呼ばれます。値の集まりが釣り鐘の形を作り、緩やかに上昇して頂点に達し、再び下降するからです。
ベルの頂点は平均値です——成績の場合ならCです。平均の両側で成績が少なくなっていくにつれて、あまり見かけない結果が現れ始めます。そして両端には、稀なA+やFの生徒がいるのです。
かなり直感的に感じられるなら、それも当然です——後述するように、正規分布は至る所に現れるのです。
ここでの重要なポイントは：正規分布が多くの基本モデルの基礎となる、ということです。
すべてのシステムが正規分布に従うわけではありません。例えば個人の富を考えてみましょう。一握りの大富豪が何百万人もの貧しい人々と同じだけの資産を持っています——つまり、富の分布は比較的少数の富裕な外れ値に偏っているのです。
システムがベル曲線に従う場合、外れ値との関係は大きく異なります：平均からのあらゆる偏差は、反対方向への同等の偏差と同じ確率になります。
こう考えてみてください：男性の平均身長が5フィート9インチ（約175cm）で、身長がベル曲線に従うなら、5フィート6インチ（約168cm）の男性の数は6フィート（約183cm）の男性の数と同じになるはずです——どちらも平均から3インチ離れているからです。
このように偏差が等しくても、正規分布が描くデータセットでは外れ値は稀で、ほとんどの値は頻繁に出現する平均値の周囲に集まります。平均から離れれば離れるほど、その結果は珍しくなります。
あるシステムが正規分布を生み出すかどうかを知ることは非常に重要です。例えば身長はベル曲線に従うので——航空会社が9フィート（約274cm）の乗客に合わせて飛行機を設計することはないのです。
多くの重要なシステムはべき乗則でモデル化できる
正規分布だけが重要な分布ではありません。一部のデータセットはロングテール分布と呼ばれるものに従います。正規分布が左右対称の釣り鐘形だったのを覚えていますか？ロングテール分布は、グラフのすぐ外に立つ生き物のしっぽのような形をしていて、グラフに描くと「長い尾」が横軸に沿って伸びます。
ロングテール分布の代表的なタイプが、べき乗分布、つまり「べき乗則」です。べき乗則は通常、何かが増幅・拡大されるシステムを記述します。
ここでの重要なポイントは：多くの重要なシステムはべき乗則でモデル化できる、ということです。
べき乗分布が描く増幅の様子を可視化するには、富について考えてみてください。投資によって富がさらに富を生む様子をグラフ化すれば、それはべき乗則の好例となります。書籍の売上、感染症の拡大、バイラル動画の人気も同じです。
べき乗則システムでこれらの一部が時間とともにどのように増幅されるかを説明するのが、優先的選択モデルです。これは、あるものが「自身の規模に比例した速度で成長する」様子を記述します。つまり、多いほどさらに多くなるのです。この種の成長をグラフ化すると、べき乗分布のような形になる傾向があります。
詳しく見ていきましょう。学生がキャンパスに次々と到着する様子を想像してください。最初に到着した学生が、大学初のクラブを立ち上げます。次に2人目の学生が到着すると、彼女には既存のクラブに入るか、2つ目を立ち上げるかの選択肢があります。おそらく彼女は既存のグループに入るでしょう。
最初の10人の学生が到着する頃には、クラブは3つになっています——つまり、11人目の学生が到着すると、3つの選択肢があります。現在7人のメンバーがいる最初のグループに入る、2人のメンバーがいる2番目のクラブに入る、あるいはメンバーが1人しかいない3番目のクラブに入る、という選択肢です。
優先的選択モデルによれば、これらのクラブは平均してその規模に比例した魅力を持ちます。11人目の学生は、70%の確率で7人のグループに、20%の確率で2人のグループに、そしてわずか10%の確率で1人の学生に加わるのです。簡単に言えば、べき乗則においては、成長することがさらなる成長を容易にするのです。
線形回帰で変数間の相関を発見できる
線形モデルは最もシンプルなモデルの一つですが、世界で機能する多くのシステムを説明するのに役立ちます。例えば、教育が収入に与える影響や、運動が平均寿命の延びに与える影響などです。では、ある現象が線形モデルで説明できるかどうかは、どうすればわかるのでしょうか？
線形関数をグラフに描くと直線になります。この事実は重要です：つまり、一連の値をグラフにプロットして、それらを貫く直線を引ければ、変数間の関係は線形モデルで記述できるということです。
言い換えれば、問題の変数が関連していることを証明できるのです。このプロセスは線形回帰と呼ばれます。
ここでの重要なポイントは：線形回帰で変数間の相関を発見できる、ということです。
X軸とY軸に値をプロットし、それらが直線を形成するかどうかを確認することを線形回帰と呼び、様々な単純なシステム間の関係をモデル化する手法です。
お茶を飲む量とうつ病のリスクの間に線形の関連があると疑っているとしましょう。関連する変数をグラフにプロットした後、値がバラバラで、直線を引く見込みがないとわかるかもしれません。その場合、仮説は放棄せざるを得ません。
一方、グラフ上の値の間に直線を引けるとわかれば、お茶を飲むこととうつ病の発生率の間に相関があることを確立できたことになります。その場合、関連の符号は負であるといいます。これは、一方の変数が増えると他方が減ることを意味します。一方の変数の増加が他方の増加に関連しているなら、符号は正になります。
しかし、重要な注意点があります。関連性の特定は変数間に相関があることを示すだけで、因果関係を証明するものではありません。お茶を飲む人がたまたまうつ病になりにくいという可能性もあるのです。
因果関係を証明するには、単なる線形回帰ではなく、本格的な実験を行う必要があります。しかし線形回帰は、より精密な実験や分析で探求する価値のある方向性を示唆することで、正しい道へ導いてくれます。
凹関数と凸関数で多様なシステムをモデル化できる
長いハイキングに出かけて、何時間も何も食べていないと想像してください。少なくとも空腹です——そして自分へのご褒美として、家に帰るとすぐに大きなピザを注文します。
最初の一切れは至福の味です。2切れ目も美味しい。しかし食事の終わりが近づく頃には、味に注意を払うことさえしなくなっています。ただ意識がどこかへ行ってしまうのです。
あなたの満足度をグラフ化すると、おそらく線形にはならないでしょう。最初にピークに達し、空腹が満たされ興味が薄れるにつれて、滑らかにカーブを描いて下降します。つまり、凹関数をグラフ化することになるのです。
ここでの重要なポイントは：凹関数と凸関数で非常に多様なシステムをモデル化できる、ということです。
楽しみはしばしば凹関数（減少曲線）でモデル化できます。
まったく別の領域では、企業の生産の単位あたりコストもこのようにモデル化できます。つまり、企業がある製品を生産すればするほど、規模の経済のおかげで生産コストは下がります。そのコストの下降線は凹です。
一方、単位あたりの利益は、おそらく同時に上向きにカーブしており、凸関数を形成します。凸関数は凹関数を上下逆さまにしたものです——下向きに曲がるのではなく、上昇していきます。
凹関数と凸関数は変化の予測に役立ちます。未来を考えるとき、私たちは変化が線形であると期待してよく間違えます。中国の経済成長率が今年10%で、景気後退の理由がなければ、直感的に来年も10%成長すると仮定してしまいがちです。
実際、私たちの周りのシステムの多くは非線形にモデル化する必要があります。1960年から1970年にかけて、日本経済も年率10%で成長しました——しかし一人当たりGDPが西側諸国に近づくにつれて、成長は凹曲線を描いて横ばいになりました。そして同じことが中国でも起きています。中国の経済成長率は2013年以降、年平均6〜7%となっています。
要するに、非線形モデルが有用なのは、興味深く重要性の高い膨大な数のシステムが非線形に機能しているからです。
人間のモデル化は厄介な試みである
人間は厄介なものです。実生活でそうなら、モデリングではなおさらです。
ボウリングの球や天候のサイクルと違い、人間には主体性があります。私たちは自分の心を持ち、それを使って意思決定をします。社会的プレッシャーを経験し、異なる好みを持ち、しばしばミスを犯します。時には、そのミスから学ぶことさえあります。
それが私たちを魅力的にしているのですが——モデリングの観点からは、それが私たちを厄介にもしています。では、人間の行動をモデル化しようとするのは絶望的なのでしょうか？
ここでの重要なポイントは：人間のモデル化は厄介な試みである、ということです。
人間の行動をモデル化しようとするとき、避けられない選択と仮定がいくつかあります。最初に決めなければならないのは、行動をルールベースで捉えるか合理的と捉えるか、という2つの方法のどちらを選ぶかです。
ルールベースの行動は、固定と適応の2つの主なタイプに分けられます。固定ルールは時間が経過し状況が変化しても変わりません。固定ルールを言葉で表すなら、「会話が20秒以上途切れたら話題を変える」のようなものになるでしょう。
一方、適応ルールは新しい状況や新情報に応じて変化・進化します。会話の沈黙が最終的により良い議論につながることが明らかになれば、適応ルールでは沈黙が20秒以上続くことを許容するかもしれません。
対照的に、人間行動の合理的行為者モデルは、人々が最適な結果を得るために合理的な意思決定を行うと仮定します。決められたルールに従うのではなく、与えられた状況で最善の行動を計算し、その情報に基づいて行動します。
家を買う人が冷静に選択肢を比較検討する様子を考えてみてください：各物件の寝室数、キッチンの窓からの眺め、さらには各地域の学校まで。
ルールベースも合理的行為者モデルも、すべての状況で機能するわけではありません。選択がシンプルな場合や熟練した意思決定者が行う場合、合理的な選択になる可能性が高いでしょう。しかし、どの色のコートを買うかといったかなり重要度の低い選択では、人々は固定ルールを適用する傾向があります。微妙な交渉で誰を信頼するかといった別のケースでは、適応ルールを適用するかもしれません。
人間のモデル化に関しては、完全な正確さを期待できることはほとんどありません。しかし、適切なモデルを選ぶことで、予測・設計・説明の精度をはるかに高めることはできます。
まとめ
本稿の重要なポイント：
ますます複雑化する世界では、私たちを取り巻く不可解なシステムを理解するためにモデルが必要です。モデルは世界の説明、新しい設計の創出、次に来るものの予測に役立ちます——ただし、適切なモデルを注意深く適用した場合に限ります。実際、結果を最適化するには、できるだけ多様で関連性の高いモデルをできるだけ多く使って問題に取り組むべきです。
