『間違えないための数学』は、数学者がどのように考え、その思考法から私たちがどのように恩恵を受けられるのかを身近に垣間見せてくれる一冊です。また、数学的ツールを誤って適用したときに私たちがいかに簡単に間違うかを説明し、正しい解決策を見つけるためのアドバイスを与えてくれます。
この本のポイント：数学があらゆるものに影響を与え、間違えないためにどう役立つかを学ぶ
数学は難しく感じられますか？あるいは、毎日の生活には関係ないものだと思っていませんか？多くの人は数学は教室の中だけのものだと考えていますが、実際には、数学は私たちの日常生活に深く関わっています。なぜなら、数学は本質的に「常識の科学」であり、私たちが直感的にすでに知っていることの反映だからです。数学者は複雑なアイデアを素早く正確に伝えるために、専門的な言語で話します。
これによって数学が複雑で理解を超えたものに思える人もいるかもしれません。しかし、複雑な数学に必要な頭の働きは、私たちが日常の多くの場面で行っている思考とそれほど変わりません。この要約では、人生の中に隠された「数学」を発見し、問題を理解するためにそれを使い、そして重要なことに、間違えない方法を学びます。さらに次のことも発見できるでしょう：
- 学術誌に掲載される研究結果の多くが、実は間違っている理由
- デビュー小説家の2作目がベストセラーの1作目より通常劣る理由
- 「世論」という概念が実際には存在しない理由
数学は間違えないための科学であり、常識に基づいている
学校で出会った複雑な数式に頭がクラクラしたことがあるかもしれません。当時、「これが実生活で使えるのか？」と自問したかもしれません。簡潔な答えは「イエス」です。数学は日常の問題を解決するための重要なツールです。
私たちは皆、毎日数学を使っていますが、それを常に「数学」とは呼びません。本質的に、数学は間違えないための科学です。次の例を考えてみましょう：第二次世界大戦中、アメリカの飛行機がヨーロッパでの任務から弾痕だらけで帰還しました。不思議なことに、機体には常にエンジンよりも多くの弾痕がありました。飛行機をより良く守るために、軍事顧問は機体により優れた装甲を施すことを提案しました。しかし、ある若い数学者は代わりにエンジンの装甲を強化することを提案しました。
なぜでしょうか？彼は、エンジンに被弾した飛行機こそが帰還できなかった飛行機ではないかと疑ったのです。エンジンがより優れた装甲で強化されれば、より多くの飛行機が生き残るかもしれません。この状況の背後には、生存者バイアスとして知られる数学的現象があります。生存者バイアスとは、あるプロセスを「生き残った」ものに注目してしまう論理的誤りです。この例では、顧問たちは生き残った飛行機の状態に誤って注目し、帰還できなかった飛行機を見落としていました。
この例は数学の問題のようには見えないかもしれませんが、実は数学の問題なのです。数学とは、物事について間違えないために理性を使うことです。数学はまた、常識に基づいています。7つの石に5つの石を加えるのと、5つの石に7つの石を加えるのが同じである理由を説明できますか？
あまりに当然すぎて、実際に説明するのは難しいものです。数学は私たちが直感的にすでに知っていることの反映です。この場合、数学は加法を可換的と定義することで私たちの直感を反映しています。つまり、任意のaとbについて、a + b = b + aが成り立つということです。方程式全体を直感で解くことはできなくても、数学は私たちの常識から導き出されているのです。
線形性によって数学的問題を単純化できる
数学の基本的なルールはこうです：難しい問題があるなら、それをより簡単にし、簡単なほうの問題を解いてみる。そして、その簡単なバージョンが難しいバージョンに十分近いことを期待する。私たちは、問題に線形性があると仮定することで、難しい問題をより簡単なものに分解できます。幾何学では、直線を考えるときに物事に線形性があると仮定します。
曲線は非線形性を表します。大きな円の周りを歩くアリを想像してみてください。アリの視点からすれば、直線を歩いているように感じるでしょう。実際、円の曲線の一部を十分に拡大すれば、私たちにも直線に見えます。このことから、円の曲線はわずかな角度で曲げられた多くの直線に似ていると推測できます。円の面積を測りたいとしましょう。
中心に正方形を置き、正方形の各角が円にちょうど触れるようにすればできます。正方形の面積は簡単に計算できます。そこから、残りのスペースにさらに角の多い多角形を挿入し、直線だけを使って円の面積を近似できるまでそれらの面積を測ります。この線形性の考え方は統計学で広く使われています。ニュース記事で目にする数学的関係を考えてみてください。例えば、バーガーキングが多くある国はモラルが緩いとか、1万ドル余計に稼ぐごとに共和党に投票する可能性が3パーセント高くなるといったことです。
これらは線形回帰の例です。線形回帰は線形性に基づいています。統計学では、特定の観察結果（給与水準と投票の好みなど）がどう関連しているかを測定するために広く使われています。ここでも、考え方は問題を単純化することです。給与水準と投票の好みの関係の研究では、多くの異なるデータポイントが得られ、それをグラフにプロットできます。線形回帰が行うのは、すべてのドットやデータポイントをつなぐ方法を見つけることではなく、データ全体の傾向を直線として表した近似を提供することです。
観察データから結論を導くことは疑わしいが、確率論が役立つ
科学者は観察を通じてデータを集め、それを使って理論を構築します。しかし、観察データは偶然に生じることがあるため、そこから結論を導くことはかなり危ういものです。次の例を考えてみましょう：2009年、ある神経科学者が死んだ魚に人の写真を見せ、その魚の脳活動を測定しました。興味深いことに、その魚は写真の中の人々の感情に正確に反応しました。
この実験はもちろん冗談でした。この科学者の本当の目的は、研究結果がいかに簡単に偶然生じ得るかを示すことでした。神経科学者は脳スキャンを、脳の領域に対応するボクセルと呼ばれる何千もの小さな断片に分割して行います。脳がスキャンされると（死んだ魚の脳であっても）、各ボクセルには常にある程度のランダムな「ノイズ」があります。何千ものボクセルがあるため、与えられた刺激に対応するデータを生み出す確率は実はかなり高いのです。しかし、より真剣な研究では、観察データが偶然に生じたかどうかが常に明確であるとは限りません。
そこで科学者は確率論を使ってこの問題に対処します。あなたが科学者で、ある病気を治すかどうかを確認するために新薬をテストしているとしましょう。このような問題に対する数学的ツールは帰無仮説有意性検定と呼ばれます。まず、帰無仮説から始めます。これはテストで何が起こるかの仮定です。この場合、帰無仮説は「新薬はまったく効果がない」というものです。次に、実験で観察されたデータの偏差を調べます。
データが偶然に生じた確率を考慮する必要があります。これはp値と呼ばれます。確率が特定のp値（通常はp = 0.05）未満であれば、データは統計的に有意とみなされます。そしてデータが統計的に有意であれば、新薬が提案された効果を持つことを95パーセントの確実性で知ることができます。
確率論は賭けから何を期待できるかを教えてくれるが、リスクも考慮する必要がある
結果が不確実なあらゆる状況で、確率は私たちを助けてくれます。確率は将来何が正確に起こるかを教えることはできませんが、何を期待すべきかを教えることはできます。例えば、確率論は何かに賭けたときに何が起こりそうかを教えてくれます。宝くじを買ったときに何が起こり得るかを、チケットの期待値を決定することで知ることができます。
宝くじの期待値を計算するには、状況の考えられる各結果を考慮しなければなりません。各結果の確率に、その結果が与えられた場合のチケットの価値を掛けます。そしてその結果を合計します。例を見てみましょう。負けるか勝つかの2つの結果しかない宝くじを想像してください。チケットは1ドルで、チケットは1000万枚あり、当選チケットは600万ドルの価値があります。
ここで、チケットの期待値は60セントです。つまり、平均して宝くじをプレイするたびに40セントの損失を期待すべきだということです。期待値の同じ論理は、ストックオプションや生命保険の価格設定にも適用されます。しかし、期待値は特定の賭けのリスクを反映していません。次の質問を考えてみてください：5万ドルを受け取るのと、10万ドルを失うか20万ドルを得るかという50/50の賭けに参加するのと、どちらを選びますか？期待値はどちらの場合も同じですが、2番目の選択肢で賭けに負けた場合、何もしないよりもはるかに悪い結果になります。
期待値は、もし10万ドルを簡単に用意できないなら、その賭けが大きなリスクであるという事実を隠してしまいます。同じように、リスクの高い投資は、起こり得る損失をカバーできる十分なお金がある場合にのみ良いアイデアです。どんな賭けにおいても、リスクを認識することは非常に重要です。
回帰効果はどこにでも見られるが、しばしば認識されない
小説家の2作目が、通常1作目の大成功ほど良くないのはなぜでしょうか？芸術的成功は平均への回帰、または回帰効果と呼ばれる数学的現象の影響を受けます。回帰効果とは、ある変数がありそうもない結果を生み出した場合、次の結果は平均に近くなる傾向があるというものです。ランダム性を含むものはすべて回帰効果の影響を受け得ます。
例えば、背の低い人は背の低い子供を持つ傾向があり、背の高い人は背の高い子供を持つ傾向があります。しかし、非常に背の低い親や非常に背の高い親の子供は、親ほど背が低かったり高かったりする可能性は低いのです。代わりに、身長は平均に近くなります。これは、身長が遺伝子だけで完全に決まるわけではないからです。食習慣、健康、単なる偶然など、他の多くの要因に影響されます。そのような外的要因が、非常に背の高い親や背の低い親の場合とまったく同じように再び揃う理由はないのです。
しかし、回帰はしばしば認識されません。例えば、1976年にブリティッシュ・メディカル・ジャーナルは、ふすまが人間の消化を調節できると報告する研究論文を発表しました。参加者がある日速い消化速度を報告した場合、ふすまを食べると次に測定されたときに消化が遅くなり、その逆もしかりでした。これらの結果はまさに回帰効果が予測するものです。ある日速い消化速度を報告した人は、次の日には遅い消化速度になる可能性が高いのです。したがって、ふすまの効果は結局それほど顕著ではないかもしれません。
研究者は、消化に対するふすまの効果を測定した研究者のように、回帰効果を生物学的現象と誤認する可能性があるため、このような状況では注意しなければなりません。有名な作家の2作目が1作目ほどよくできていない場合も同じことが起こり、文芸批評家はしばしばそれを「疲労」のせいにします。しかし何よりも、それは単なる数学なのです。
線形回帰は有用だが、線形性がないところに線形性を仮定すると誤った結論につながる
これまで見てきたように、線形回帰は変数同士がどう関連しているかを理解するのに役立つ重要な統計ツールです。しかし、線形回帰はすべてのデータセットに使えるわけではありません。誤って使うと、誤解を招く結果を生み出します。データセットの線形回帰は、すべてのポイントをグラフにプロットし、それらすべてを通過するのに最も近い線を見つけることで得られます。ただし、これはデータポイントがすでに概して線形の形状をしている場合にのみ意味があります。
例えば、ミサイルを発射したときに描く曲線状の軌道を考えてみてください。短い区間を拡大すると、曲線は線のように見えます。したがって、線形回帰は、ある時点から数秒後にミサイルがどこにあるかを予測するのに非常に優れています。しかし、線形回帰は曲線の軌道を考慮しないため、より長い時間間隔の後にミサイルの位置を予測することはできません。ミサイルの軌道をズームアウトすると、それは線形ではなくなります。つまり、軌道全体を1本の線だけでは記述できません。線形回帰がミサイルの軌道のような非線形現象に適用されると、誤った結果を生み出します。
これは2008年に実際に起こりました。オベシティ誌が、2048年までにすべてのアメリカ人が過体重または肥満になると主張する論文を発表したのです。研究の著者たちは、肥満の割合を時間に対してプロットしたグラフを作成し、線形回帰を適用してこれを決定しました。グラフの線は2048年に100パーセントで交差しました。しかし、肥満のような傾向は長期間にわたって曲線的なグラフを生み出す傾向があります。実際、肥満は線形的にプロットできません。なぜなら、もしできたなら、2060年までにアメリカ人の109パーセントが肥満になることになるからです！したがって、線形回帰は重要なツールですが、正しく使うよう注意しなければなりません。
多くの研究結果は、データの誤用や誤った確率計算のために間違っている
2005年、ジョン・イオアニディスという教授が「なぜ発表された研究結果のほとんどが誤りなのか」という論文を発表しました。それは急進的な主張に思えるかもしれませんが、彼の論点は健全でした。彼はまず、有意でない観察結果が偶然に統計的有意性検定を通過することがあると述べました。人の遺伝子が統合失調症を発症する確率に与える影響を考えてみましょう。
いくつかの遺伝子が統合失調症と関連していることはほぼ確実ですが、どの遺伝子かは不明です。したがって、科学者は約10万の遺伝子を調べなければならないかもしれませんが、実際に統合失調症と関連しているのはわずか10個かもしれません。しかし、最も一般的に使われる95パーセントの有意性検定では、遺伝子の5パーセントが偶然に検定を通過します。この場合、5パーセントは5,000個の遺伝子を意味します。これは実際に意味を持つほど具体的な結果ではありません。イオアニディスの2番目の論点は、成功した検定結果を見つけられなかった研究はしばしば発表されないため、見つけた研究が不釣り合いに注目されるというものでした。
20の研究室が緑のゼリービーンズがニキビを引き起こすかどうかをテストすると想像してください。19の研究室はテストの一環として有意な効果を見つけられないため、結果を論文にしません。統計的に有意な結果を見つけた1つの研究室は、報告書を書いて発表される可能性がはるかに高くなります。これは珍しいことではありません。偶然にうまくいった実験はしばしば発表され、同じ現象を測定したうまくいかなかった他の実験は埋もれたままです。イオアニディスはまた、科学者が結果を統計的に有意にするために微調整することがあると主張しました。実験を行って94パーセントの確実性の結果を得たと想像してください。
統計的に有意とみなされるには最低95パーセントの確実性が必要なので、あなたの結果は有意ではないことになります。有意性検定がそれほど近いので、データを微調整して95パーセントの確実性を達成することは可能でしょう。研究者はしばしばこれを行います。悪意があるからではなく、自分たちの仮説を本当に信じているからです。
「世論」について発言する世論調査や選挙はしばしば間違っている
「世論」をどうやって測定できるでしょうか？それはかなり曖昧な用語なので、それを表現すると主張する世論調査に直面したときは批判的であるべきです。第一に、人々は非常に矛盾した意見を持つことがあり、自分自身とさえ矛盾することもあります。例えば、2011年1月、CBSニュースの世論調査では、回答者の77パーセントが歳出削減が連邦財政赤字に対処する最善の方法だと考えていると報告しました。
わずか1か月後、ピュー研究所は政府支出の13の異なるカテゴリーについて尋ねる世論調査を実施しました。そのうち11のカテゴリーで、より多くの人が支出を増やすことを望み、削減よりもむしろ増やしたいと考えていました。「多数派」について語ることも誤解を招く可能性があります。「多数決」のアプローチは公平に思えるかもしれませんが、選択肢が2つしかない場合にのみ実際に機能します。2つを超えると、グループはおそらく異なる方法で分割でき、それによって話が完全に変わってしまいます。例えば、2010年10月の世論調査では、回答者の52パーセントが米国の医療保険制度改革法（アフォーダブル・ケア法）に反対し、支持したのはわずか41パーセントでした。しかし、数字を異なる方法で分解すると、話はかなり異なってきます。
医療保険制度改革法案を撤廃したい人はわずか37パーセントでした。さらに10パーセントが法律を弱めるべきだと言い、15パーセントは現状のままにしておくことを好みました。最後に、36パーセントが医療制度をさらに変えるために法律を拡大すべきだと言いました。
したがって、法律の「反対者」の多くは実際にはその主要な考え方を支持していたのです。これは選挙でも起こり、2000年の米国大統領選挙は良い例です。ジョージ・ブッシュがフロリダ州の投票の48.85パーセントを獲得し、アル・ゴアが48.84パーセント、ラルフ・ネーダーが1.6パーセントだったので、ブッシュが勝者でした。しかし、ネーダーに投票したほぼすべての人がブッシュよりもゴアを好んでいたと言っても過言ではありません。つまり、51パーセントの多数派がおそらくブッシュよりもゴアを好んでいたということですが、ネーダーに投票した人々にはそれを表現する方法がなかったのです。
最終的なまとめ
本書の核心的なメッセージ：数学は常識から導き出されたものであり、間違えない方法を教えてくれます。 数学的アイデアを使って目にするものを説明し、正確な結論を導き出すことができます。 人生に隠された数学を発見することで、新聞をよりよく理解することから生命保険を買うべきかどうかを判断することまで、さまざまな状況で役立ちます。 実践的なアドバイス：宝くじは買わないこと。
宝くじは、報酬が返ってくる可能性が非常に低いチケットに人々がお金を払うよう説得することで利益を得ています。一度プレイするのは楽しいかもしれませんが、長期間プレイした場合に価値があるとは期待しないでください。期待値を計算すると、ほとんどの宝くじでは、勝つお金よりも失うお金のほうが多いことがわかります。さらに読むのにおすすめの本： チャールズ・ウィーラン著『ネイキッド・スタティスティクス』 『ネイキッド・スタティスティクス』は統計学への洞察に満ちた入門書で、統計分析の力を説明しながら、よくある落とし穴も明らかにします。良い意思決定のために統計学の確かな理解がいかに重要かを示し、記述統計を批判的に検討するためのツールを読者に与えてくれます。
