『美しきゲーム理論』（2014年）は、プロサッカーの魅力的な世界を通して、経済学がいかに私たちの日常生活に応用可能かを示しています。PK戦、審判の判定、チケット販売に関する興味深い統計や研究を検証することで、本書は行動経済学の心理について示唆に富んだ洞察を提供します。
この本の要点：PK戦の背後にある経済学的思考を探る
サッカー選手がPKのキックを構える時、彼がゴールを決める確率はどれくらいでしょうか？ それは選手次第でしょうか？ それともゴールキーパー？ あるいは全く別の何かによるのでしょうか？
これから見ていくように、その答えは非常に興味深く、選手のスキルだけでは説明がつきません。さらに、これらの問いは熱狂的なサッカーファンだけでなく、経済学の分野にも大いに関係があります。この要約では、サッカーのフィールドで展開される経済学的思考と、抽象的な経済理論が世界で最も人気のあるスポーツによってどのように検証されうるかについての洞察を提供します。サッカーのデータを調べることで、人間の行動に関する新たな経済モデルについて学び、サッカーの試合が持つ重要性について全く新しい視点を得られるでしょう。さらに、以下のようなことがわかります。
- PK戦ではなぜ常に先攻を選ぶべきなのか
- なぜ審判はいつもホームチームを贔屓しているように見えるのか
- じゃんけんの戦略から最大の成果を引き出す方法
ミニマックス定理は、プレイヤーの行動と戦略を説明し予測する
サッカーが経済学の理解にどう役立つかを理解するには、まずジョン・フォン・ノイマンの「ミニマックス定理」を理解する必要があります。彼のゲーム理論の定理は、二人ゼロサムゲーム、つまり一方のプレイヤーの利得が常に他方のプレイヤーの損失となるゲームに関するものです。ミニマックスとは、各プレイヤーが相手の「最大可能利得」を「最小化」しようとする戦略を選ぶことを前提としています。これが「ミニマックス（最小化）」の所以です。そして、これはゼロサムゲームの話ですから、各プレイヤーが自身の最大損失を最小化しようとしていることも意味します。
例えば、じゃんけんでは、片方だけが勝ち、もう片方は負けます。したがって、各プレイヤーの戦略は、相手の利得（勝利）を最小化することです。戦略には、純粋戦略と混合戦略の二つがあります。「純粋戦略」とは、プレイヤーが常に同じ手を選ぶ戦略（常にグーを出すなど）であり、「混合戦略」はグー、チョキ、パーを様々に変化させて使います。ミニマックス理論の重要な仮説は、相手に自分の選択を事前に知られることが不利になる場合、ランダムな戦略を選ぶことで利益を得られる、というものです。例えば、長年の友人とじゃんけんをしていると想像してみてください。
もしあなたがパーを出す傾向が高いなら、友人は純粋戦略、つまり常にチョキを出すことで、これを簡単に利用できます。しかし、一方が純粋戦略で他方が混合戦略をとった場合、混合戦略が3分の2の確率で勝ちます。一方、両者が混合戦略をとれば、勝率は互角になります。したがって、二人のプレイヤーがランダムにグー、チョキ、パーを出せば、それぞれ50%の確率で勝つはずです。理想的には、純粋戦略の勝率がわずか33%であるため、両者とも手を混ぜるべきなのです。
PK戦はノイマンのミニマックス定理を実証する
ミニマックス定理は1928年には既に提唱されていましたが、長らく実証データによって検証されてきませんでした。サッカーのPK戦が登場するまでは。では、なぜPK戦はミニマックスゲームと見なされるのでしょうか？ じゃんけんと同じように、戦略の選択肢が限られており、かつ相手の選択とは独立して選ばれるからです。
ゲームにはキッカーとゴールキーパーがおり、両者とも戦略（キッカー：左、右、中央に蹴る、ゴールキーパー：左、右に飛ぶ、中央に留まる）を持っています。キッカーにとっての利得はゴールを決めること、ゴールキーパーにとっての利得はゴールを防ぐことです。キッカーは得点の可能性を最大化しようとし、ゴールキーパーはその可能性を最小化しようとします。重要なのは、ボールがゴールに到達するまでわずか0.3秒しかかからないため、ゴールキーパーはキッカーの戦略に反応できないということです。彼は事前に戦略を決めておかねばならず、つまり両方のプレイヤーが互いに独立して戦略を選択するのです。
さらに、各プレイヤーは限られた戦略（左、右、中央）から選択しなければならないため、プレイヤーの選択を形式化し、ミニマックス定理による予測が実証されるかどうかを評価できます。実際、キッカーの戦略は、ミニマックス定理による両プレイヤーの行動と戦略の有効性に関する予測、すなわち混合戦略を選択すること、混合戦略の成功率が同じであること、そして純粋戦略を用いるサッカー選手はいないことを証明しています。興味深いことに、選手のキック戦略は、選手が自動的に「系列的に独立した系列」を作り出していることを示しています。つまり、常に同じコーナーを狙ったり、常にコーナーを変えたりしているわけではないのです。言い換えれば、シュートコースはランダムです。ミニマックスが予測する通り、これは彼らの戦略選択が以前の選択や結果に影響されていないことを強く示しています。実際、評価された国際リーグの約9000本のPKのうち、キッカーが左、右、中央に蹴った順序に関わらず、全戦略を通じた平均得点確率は80%です。
これからの要約で見ていくように、サッカーがゲーム理論の検証に役立つのと同様に、これまで漠然としすぎていて評価できないと考えられていた他の経済モデルの前提を明確にするのにも役立ちます。PK戦はゲーム理論に光を当てるだけでなく、競争行動における心理的要因を分析するユニークな機会も提供してくれます。経済学者や心理学者は、意思決定が行われる環境を観察し、それらの決定をよりよく理解しようとします。
PK戦は経済学と心理学を実社会の設定で融合させる
例えばPK戦は、競争を特徴とする「トーナメント設定」というカテゴリーに分類されます。社会科学者はこれらのモデルを用いて、昇進のような他の実生活上の競争状況を分析し、誰が勝つかに影響を与える要因を研究します。しかし、経済学者や心理学者は、実生活のシナリオの背後にある戦略を観察・測定することが難しいため、トーナメントは実生活の競争のアナロジーとしては不十分であることを見出してきました。例えば、ある候補者が昇進を勝ち取れたのは、（住宅ローンの返済のような）より高いインセンティブがあったからなのか、それとも面接中により好印象を与え、ストレスが少なかったからなのか？
トーナメントモデルでは、満足のいく答えを提供できません。この不十分さは主に、日常的な状況における戦略と結果の観察における明確さの欠如に起因します。結果は既に分類が難しく、心理や感情の説明に用いるには漠然としすぎているように思われます。しかしPK戦は、その変数が極めてシンプルであるため、トーナメント設定における心理的影響を評価する理想的な方法を提供します。シナリオ全体を結果（シュートの成否）と心理的要因（先攻か後攻かなど）のみに絞り込むことができるのです。
さらに、PK戦におけるキック順のランダム性が、信頼性の高いデータをもたらします。PK戦では、両チームは自動的にランダムな選択プロセス、すなわちコイントスに参加します。こうして、どちらが先攻になるかという決定はランダム化され、プロ選手の97%が先攻を選びました。ランダム化されたデータは容易に操作できないため、このランダム性はPK戦データの信頼性を高めます。
心理的プレッシャーがPK戦で先攻チームに有利に働く
両チームが同じ観客の前でプレーし、PK戦の結果が試合の勝者を決める（つまり、両者の利害が等しい）ため、次の問いを立てることができます：PK戦のキック順は選手のパフォーマンスに影響を与えるのか？結果は驚くべきものです。1970年から2014年までの間、国内および国際大会の両方における先攻チームの勝率は60.6%でした。
対して後攻は39.4%です。これは、一方のチームをA、もう一方をBとする標準的なABABABABABという順番が、後攻チームのキッカーに多大なプレッシャーをかけるためです。実際、キッカー自身もこれを知っているようです。記録に残るすべてのコイントスにおいて、トスに勝った側が先攻を選ばなかった例外は二つしかありません。一つ目の例外は、イタリアのゴールキーパー、ブッフォンがスペインのゴールキーパー、カシージャスと対戦した時です。ブッフォンはコイントスに勝ち、スペインが先攻になるよう決定しました。
5年後、同じチーム、同じ選手で再びPK戦となり、今度はスペインのゴールキーパーがイタリアを先攻に選びました。しかし、ABABABABABの順番による不利が純粋に心理的なものであると、どうしてわかるのでしょうか？ 研究によると、キック順をABBABAABのような別の順番に変更すると、この不利をほぼ完全に排除できることが示されています。これをテストするため、科学者たちはスペインのラ・リーガのプロ選手に新しい順番で200回のPK戦を行わせ、その結果、新しい順番では先攻と後攻の勝率が均等化されることを発見しました。先攻が51%、後攻が49%です。
ABBABAABという順番は「プルエ・テュエ・モース（PTM）数列」と呼ばれ、トーナメント設定を研究する上での一つの重要な問いに答えます。それは、二者間の逐次競争を可能な限り公平にするにはどう順番を決めればよいのか？ 現在使われている「厳密な交互性」(ABAB)は、一方の競技者に心理的なアドバンテージを与えます。心理的要因が選手のパフォーマンスに影響を与えることは明らかです。次の要約では、プレッシャーがフィールド上の他の人々、つまり審判にどのように影響するかを探ります。
審判への社会的プレッシャーが、試合終了時のアディショナルタイムの長さを決める
経済学の基本的な課題の一つは、人々がどのように意思決定を行うかを分析することです。サッカーのフィールドは、社会的プレッシャーが私たちの意思決定にどう影響するかを研究するための完璧な環境を提供します。一つには、観客によるホームチームへの応援が審判に社会的プレッシャーをかけます。プロの試合には最大10万人もの観客が集まるため、このプレッシャーは圧倒的であり、バイアスにつながる可能性があります。
例えば、スペインのサッカーの試合データに基づく最近の評価では、試合に勝つことの報酬がより高い場合（例えば、トーナメント決勝戦など）、ホームチームに対する審判のバイアスも同様に増加することが明らかになりました。これは、ホームチームにとっての試合の重要性が審判にも影響を与えることを示しています。アディショナルタイムの統計的平均は、試合後半で2.93分であり、どちらかのチームが1点差以上リードしている場合や同点の場合は、ほとんど変わりません。しかし、僅差の試合ではアディショナルタイムは大きく変動します。
例えば、ホームチームが1点リードしている場合、負傷やその他の中断によって失われた時間を補うためにハーフ終了時に追加される時間は、平均より29%短く、1分か2分になります。ホームチームが1点ビハインドの場合、アディショナルタイムは平均より35%長く、約4分になります！つまり、アディショナルタイムの長さが意味を持つほど接戦の試合、つまり得点差が1点より大きい場合、審判は組織的にホームチームを有利に扱うことを示しており、中立であることだけを職務とする人々でさえ、社会的プレッシャーによって無意識に影響を受ける可能性があることを意味します。しかし、フィールド外から試合に影響を与える方法もあります。応援、口笛、ブーイング、フーリガニズムなどです。最後の要約では、これらの影響が他のファンにどう作用するかを学びます。
個人は予測可能な形で、自身の費用と便益に基づき、日常的な状況への恐怖をコントロールする
恐怖が私たちの行動に及ぼす劇的な影響にもかかわらず、それが経済理論において研究され始めたのはごく最近のことです。リスクは消費者の行動をどう変えるのか？ そして、消費者はこの恐怖をどのように管理するのか？ 恐怖は、リスクの主観的確率と客観的確率の差から生じます。人々は状況に対する客観的なリスクではなく、主観的な恐怖に反応するのです。
2013年にベッカーとルビンスタインによって初めて経済モデルに組み込まれ、二つの検証可能な仮説が提唱されました。第一に、適切なインセンティブ（便益）があれば、人々は恐怖をコントロールする（費用を払う）ことを学習するというものです。この考え方は、恐怖をコントロールしようとするあなたの意欲は、そのコントロールを発揮することから期待される経済的な費用/便益に依存する、というものです。したがって、人々が受け取ると予想する潜在的な便益の大きさを特定できれば、恐怖を感じる状況に対する人々の反応を測定し、予測することができます。興味深いことに、感情（例えば恐怖）をコントロールすることから大きな便益を期待する場合、その人の主観的な経験は客観的なリスクをより正確に反映するようになります。
例えば、頻繁に飛行機を利用する人は、自分が墜落して死ぬかもしれないという恐怖をコントロールすることで大きな便益を得ます。彼らが墜落する可能性についての主観的な信念は、墜落の客観的・統計的リスクにより近くなります。しかし、飛行機をめったに利用しない人はしばしば不安や恐怖を示します。彼らが墜落する可能性についての主観的な信念は、実際のリスクよりも大きいのです。実際、特定の状況に頻繁に身を置く場合、そのリスクゆえにその状況を回避する可能性は低くなります。例えば、2000年から2005年のパレスチナ・インティファーダから収集されたデータは、イスラエルにおけるパレスチナ人の攻撃が、レストランやショッピングモール、カフェなど、リスクにさらされる商品やサービスをたまに利用するイスラエル人にのみ影響を与えたことを示しました。対照的に、頻繁に利用する人々の需要は、テロ攻撃によって全く変化しませんでした。
フーリガニズムはファンに異なる影響を与え、統計による説明をより困難にする
興味深いことに、ベッカー＝ルビンスタインモデルは、暴力やフーリガニズムがチケット販売にどう影響するかを調べることで、サッカーデータによって検証できます。以下のデータは、スペインリーグの1951年から1995年までの45シーズン分のものです。フーリガニズムに該当する167件の事象が記録され、334試合が前後比較分析のために抽出されました。例えば、既婚者は、恐怖を克服するための費用が高いため、暴力やフーリガニズム行為に対して最も強い反応を示します。
実際、ある特に暴力的なサッカーシーズンの後、独身者と既婚者の間でチケット更新率に40%の差があることが研究で判明しました。実際に、既婚者でチケットを更新したのはわずか51%でした。なぜでしょうか？ 彼らの結婚への感情的投資が、趣味への関心を上回ったのです。感情的投資をする結婚相手がいない独身者の場合は、その逆でした。同様に、一回券購入者の来場率も暴力行為の後に40%減少しました。
一回券購入者はたまにしか試合に来ないため、サッカーの試合での暴力に対する恐怖を克服することから便益を得ません。対照的に、単年のシーズンチケット保持者は暴力にほとんど影響されません。実際、彼らのほぼ全員にあたる94%が暴力行為の後もシーズンチケットを更新し、95%がフーリガニズム行為の直後の試合に参加しました。これらのデータはすべて、恐怖をコントロールすることが、それを行うインセンティブに依存するというベッカー＝ルビンスタインモデルの予測を裏付けています。しかし、ベッカー＝ルビンスタインモデルの第二の仮説である「より高い教育を受けた人々は客観的なリスクをより正確に評価できる」は証明されませんでした。シーズンチケット保持者を高学歴層（大学の5-6年制課程卒業）と低学歴層（高校卒業）に分けると、暴力行為後の高学歴層の観戦率は95%から93%にしか低下しなかったのに対し、
低学歴層の観戦率は92%から75%へとはるかに大幅に低下しました。サッカー観戦に関するこのデータは、より高い教育を受けた人々が実際には客観的リスクをより良く評価できるとは限らないかもしれないことを示しています。しかし、この研究が考慮に入れていない他の変数があるため、この例はデータと因果関係を結びつけようとする試みにおけるいくつかの欠点を明らかにしています。
最終的な要約
サッカーのフィールドに目を向けることで、経済行動に関する多くの洞察を得ることができます。PK戦の戦略、特定のチームへの審判の偏り、チケット販売のような単純なことまで検証することで、私たちの周りの世界について多くを学ぶことができるのです。
